Регион 2022
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что существует натуральное число 
такое, что при любом натуральном 
сумма цифр числа 
не меньше
Источники:
Подсказка 1:
Нужна какая-нибудь лемма, которая позволит оценивать сумму цифр некоторых чисел. Условие задачи даёт много свободы, можно выбрать любое b. Значит, возможно, получится подогнать задачу под лемму.
Подсказка 2:
Через s(m) обозначим сумму цифр числа m. Если натуральное число m кратно 10ᵏ − 1, где k — также натуральное, то s(m) ≥ 9k. Докажите этот факт.
Подсказка 3:
Попробуйте доказывать по индукции. Распишите число m в виде 10ᵏu + v и сведите к меньшему числу.
Подсказка 4:
Для доказательства перехода понадобится следующий факт: s(a) + s(b) ≥ s(a + b). Докажите его, используя сложение в столбик.
Положим 
Через 
обозначим сумму цифр числа 
Отметим простое свойство 
которое сразу
видно, если числа 
и 
сложить в столбик.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Лемма. Пусть 
— натуральное число, и пусть натуральное число 
кратно 
Тогда 
Доказательство. Индукция по 
База 
очевидна.
Предположим, что 
и что утверждение доказано для всех чисел, меньших 
Докажем его и для 
Пусть последние 
цифр числа 
образуют число 
(возможно, с ведущими нулями), а все остальные — число 
(иначе говоря, 
).
Поскольку 
делится на 
то и (положительное) число
также кратно 
Поэтому 
по предположению индукции, а тогда
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Для решения задачи осталось взять такое 
что 
и заметить, что если 
и 
то 
делится на 
и,
значит, 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
