Регион 2017

Если Петя выберет числа то, как бы ни разбивал эти числа Вася, в паре с числом будет число Их произведение будет равно а остальные будут не больше него. Тогда на доске окажется число

Покажем, как Васе для любых Петиных чисел получить на доске число, не большее Перенумеруем числа в порядке невозрастания: Разобьём числа на пары следующим образом: в паре с Тогда произведениями чисел в парах будут

Покажем, что при Действительно, из неравенств следует, что поэтому

Аналогично из неравенств следует, что

Поэтому

где Поскольку по неравенству о средних для двух чисел получаем неравенство Осталось доказать, что при Это неравенство можно переписать в виде и обе скобки в последней формуле неотрицательны.

Осталось доказать, что Поскольку имеем

и, аналогично,

Следовательно,