Тема Регион 10 класс

Регион 2015

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела регион 10 класс

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75449Максимум баллов за задание: 7

Коэффициенты $a,b,c$ квадратного трёхчлена $f(x)= ax2 +bx+ c$ — натуральные числа, сумма которых равна $2000.$ Паша может изменить любой коэффициент на $1,$ заплатив $1$ рубль. Докажите, что он может получить квадратный трёхчлен, имеющий хотя бы один целый корень, заплатив не более $1050$ рублей.

Источники: Всеросс., 2015, РЭ, 10.7(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, что мы можем делать, чтобы при каком-то условии точно был корень? Мы можем уменьшать c до 0, ведь тогда у нас будет корень 0. Но что, если c > 1050?

Подсказка 2

Тогда a + b <= 949. Что еще нам выгодно сделать? Коль скоро мы уже зануляли последний коэффициент, то надо пробовать занулить средний (ведь в дискриминанте первый и последний почти никак не отличаются, так как они равноправны). Что мы вообще хотим, если предполагаем занулять средний? Мы хотим, чтобы -4ac было квадратом, значит, a < 0. Ну и поскольку а никак не зависит от с, не считая суммы, то стоит попробовать взять а = -1, и тогда останется только сделать c - точным квадратом. Почему все это можно реализовать за 1050 действий?

Подсказка 3

Верно, чтобы сделать a = -1, b = 0 надо не более 950 действий. У нас остается 100 действий, но при этом, понятно, что в силу того, что с < 2000, так как изначально числа натуральные, то расстояние до ближайшего квадрата точно не больше чем 45^2 - 44^2(чем больше квадрат, тем больше расстояние от него до следующего) = 89 < 100. Значит, 100 действий, чтобы довести до квадрата, хватит!!

Показать доказательство

Если $c ≤1050,$ то просто сделаем $c =0$ и получим корень $x = 0.$ Пусть теперь $c≥ 1051,$ тогда $a +b≤ 949.$ Сделаем $a =− 1$ и $b =0,$ на это уйдёт не более $950$ рублей. В нашем распоряжении осталось хотя бы $100$ рублей, покажем, что их достаточно, чтобы увеличить или уменьшить $c$ до ближайшего квадрата. $c< 2000,$ а значит оно располагается между квадратами, расстояние между которыми не превосходит $2 2 45 − 44 = 89< 100.$ Таким образом, нам хватит $100$ рублей, чтобы сделать $c$ квадратом и получить трёхчлен $2 2 − x + n ,$ который имеет целые корни, что и требовалось.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#90112Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению $ab+ bc+ ca= 1.$ Докажите, что

∘----1 ∘---1 ∘ ---1 √ - √ - √ - a + a + b+ b + c+ c ≥ 2( a+ b+ c)

Источники: Всеросс., 2015, РЭ, 10.4(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Есть условие ab + bc + ca = 1. Оно довольно непростое, подумайте, что с ним можно сделать.

Подсказка 2:

Его нужно куда-то подставить вместо 1. Но как понять куда, ведь единицу можно найти везде, даже a = a*1.

Подсказка 3:

Подставьте вместо числителя в дробях 1/a, 1/b, 1/c. Что теперь там хорошего получается? Теперь можно уже и вспомнить классические неравенства, попробовать применить их.

Показать доказательство

Заметим, что

∘---1- ∘---ab+-bc-+ac ∘ ---bc------ ∘-√------- ∘-√---√--- a+ a = a+ ----a----= a+ a-+b+ c≥ 2 bc+ b+ c= ( b+ c)2

√ - = b+√c

Если аналогично оценить три других корня и сложить три полученных неравенства, мы получим требуемое.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания