Регион 2023

Первое решение. Докажем, что для любой пары записанной на доске, число делится на

Действительно, для пары число делится на 7.

Пусть для пары число делится на Тогда для пары число

делится на и для пары число

делится на

Пусть для пар числа делятся на 7. Тогда для пары число

делится на

Так как для пары число

не делится на эта пара на доске появиться не может.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Будем к каждой паре на доске добавлять третье число Тогда сумма чисел в каждой тройке будет равна нулю, а правила дописывания новых пар будут такими: если на доске записана тройка то можно дописать тройки и а если записаны тройки и то можно дописать тройку — назовём эту тройку суммой троек и Также для тройки и целого числа обозначим через тройку

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Утверждение. Докажем, что все тройки, появляющиеся на доске, имеют вид

с целыми и В начальный момент времени это верно:

Теперь достаточно показать, что из троек, имеющих вид также получаются лишь такие тройки. Для операции взятия суммы троек это очевидно. Для остальных операций это тоже несложно проверить: если имеет вид то

Утверждение доказано.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Предположим теперь, что на доске появилась тройка (2022, 2023, -4045), то есть она имеет вид Тогда имеем

Выражая из первого равенства и подставляя во второе, получаем

то есть

Однако это невозможно, поскольку не делится на