Регион 2023
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка 
— центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника 
На биссектрисе угла 
внутри
треугольника 
отмечена точка 
а на отрезке 
— точка 
так, что 
и 
Точки 
и 
— центры
окружностей, описанных около треугольников 
и 
соответственно. Докажите, что точки 
и 
лежат на одной
прямой или на одной окружности.
Источники:
Обозначим вторую точку пересечения биссектрисы угла 
с окружностью, описанной около треугольника 
через 
Тогда точка
— середина дуги 
поэтому 
— серединный перпендикуляр к хорде 
Поскольку вписанный угол вдвое меньше
центрального, опирающегося на ту же дугу, то 
С другой стороны, так как 
то 
а
тогда
как внешний к треугольнику 
Таким образом, 
поэтому точка 
лежит на окружности, описанной около
треугольника 
Рассуждая аналогично, мы получаем, что
и точка 
лежит на окружности, описанной около треугольника 
Значит, точки 
и 
— центры описанных окружностей
треугольников 
и 
а эти треугольники симметричны относительно 
Получается, что точки 
и 
также симметричны
относительно 
Следовательно, либо точки 
и 
лежат на прямой 
либо 
— вершины равнобедренной трапеции,
а потому лежат на одной окружности.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
