Регион 2015
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
По кругу расставлено 
положительных чисел. Могло ли случиться так, что каждое из этих чисел, кроме одного, равно разности своих
соседей?
Источники:
Подсказка 1
Давайте поймём, какое именно число не равно разности соседей. Очевидно, что наибольшее. Значит, все остальные равны разности соседей.
Подсказка 2
Также есть смысл рассмотреть наименьшее число и числа на двух дугах, концами которых являются наибольшее и наименьшее число. Что можно сказать про числа на каждой из дуг?
Подсказка 3
Верно, давайте попробуем доказать, что числа от наименьшего к наибольшему не убывают(а заодно вы получите ещё кое-какое соотношение). Какой самый простой для этого способ..? Конечно, индукция. Аналогичным образом получится результат для другой дуги. Попробуйте теперь воспользоваться полученными знаниями для получения противоречия.
Подсказка 4
У вас есть две последовательности чисел(пусть a_i и b_i) и рекуррентное соотношение на них. Попробуйте теперь доказать, что на самом деле a_i<b_i≤a_(i+1). Чем нам это поможет? А ведь мы ещё не пользовались всем условием. Что же не так с числом 300..?
Предположим, что требуемая расстановка существует. Ясно, что наибольшее из чисел не может равняться разности соседей; значит, каждое
из остальных чисел равно разности соседей. В частности, наибольшее число встречается ровно один раз; обозначим его через
Пусть 
— одно из наименьших чисел в круге. Рассмотрим любую из двух дуг между 
и 
пусть на ней стоят подряд числа
Докажем индукцией по 
что 
В базовом случае 
утверждение верно, ибо 
—
наименьшее число. Для перехода от 
к 
предположим, что 
и 
Тогда равенство 
невозможно, ибо
и поэтому 
Значит, 
что и доказывает переход индукции. Мы заодно показали, что 
при всех 
Аналогично, если на другой дуге между 
и 
стоят подряд числа 
то 
и 
при
всех 
Наконец, для числа 
условие задачи также должно выполняться, так что 
Без
ограничения общности можно считать, что 
тогда 
Продолжим теперь последовательности 
и 
согласно формулам 
и 
Докажем
индукцией по 
, что 
При 
это уже доказано выше. При 
из соотношений 
получаем
Для перехода индукции предположим теперь, что 
и утверждение уже доказано для меньших значений 
По предположению
индукции, имеем
откуда
что и требовалось.
Итак, мы получили, что
Значит, равенство 
возможно лишь при 
но тогда общее количество чисел в круге равно 
что не может
равняться 
Противоречие.
Не могло
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
