Регион до 2015
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В стране 
городов. Каждый город связан беспосадочными двусторонними авиалиниями с некоторыми другими городами, причём для
каждого города число исходящих из него авиалиний есть степень двойки (то есть 
). Для каждого города 
статистик
подсчитал количество маршрутов, имеющих не более одной пересадки, связывающих 
с другими городами, а затем
просуммировал полученные результаты по всем 
городам. У него получилось 
Докажите, что статистик
ошибся.
Источники:
Подсказка 1:
Глобальная идея задачи такая: нужно обозначить через 2^{n_i} количество авиалиний, выходящих из i-го города, посчитать суммарное количество авиалиний и показать, что оно не может быть 100 000.
Подсказка 2:
Чтобы было проще считать, давайте вычислим для какого-нибудь города, сколько маршрутов из одной авиалинии заканчиваются в нём, а также сколько маршрутов из двух авиалиний проходят через него.
Подсказка 3:
Если степень вершины x, то x маршрутов с одной авиалинией и x(x - 1) с двумя. Если не понимаете, почему так, то сначала обязательно разберитесь.
Подсказка 4:
Итак, теперь вы поняли, что количество авиалиний равно сумме 4^{n_i} по всем i от 1 до 2000. Осталось показать, что оно не может равняться 100 000. Теория чисел в помощь.
Подсказка 5:
Одна из самых тривиальных идей в таких случаях — показать, что выражения дают разные остатки по какому-то модулю, а значит, не могут быть равными.
Назовём беспосадочный перелёт из одного города в другой коротким маршрутом, а перелёт из одного города в другой с одной пересадкой в
пути длинным маршрутом. Перенумеруем города и обозначим через 
число рейсов, выходящих из 
-го
города.
Будем учитывать короткие маршруты в их конечных пунктах, а длинные — в пунктах пересадки. Тогда, если из города выходит 
авиалиний, то в нём будет учтено 
коротких маршрутов и 
длинных (так как из каждого смежного города через данный
проходит 
длинных маршрутов), а всего — 
маршрутов. Таким образом, общее число маршрутов
равно
Поскольку 
в любой степени при делении на 
дает остаток 
то остаток от деления на 
у общего числа маршрутов такой же, как
у числа 
то есть 
а у числа 
этот остаток равен 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
