Регион до 2015
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Последовательность 
…удовлетворяет условию
для всех целых неотрицательных чисел 
Известно, что 
Найдите 
Источники:
Подсказка 1
Для начала хорошо бы было понять ответ. Как это сделать? Нужно подставлять какие-то конкретные значения, после этого вычислить несколько первых членов, а затем попытаться угадать ответ. Как после этого его доказать?
Подсказка 2
На самом деле a_n = n^2. Попробуйте доказать это по индукции. Как можно сделать переход?
Подсказка 3
Сделайте переход от n = k - 1, n = k к n = k + 1, не забудьте проверить базу. Какой она должна быть?
Полагая 
находим 
Полагая 
получим 
Отсюда
Пусть 
Тогда 
и так как в силу 
и 
то окончательно
получаем:
С другой стороны, в силу 
и условия 
имеем:
Сравнивая 
и 
заключаем, что последовательность 
удовлетворяет рекуррентному соотношению
и начальным условиям 
Вычислив несколько первых членов последовательности: 
приходим к предположению, что при всех
Доказательство проведем по индукции. При 
и 
утверждение верно. Пусть оно верно при 
и
Тогда
т. е. утверждение верно и при 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
