Тема Задачи №21 из банка ФИПИ

11 №21. Тип 11

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи №21 из банка фипи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#55433Максимум баллов за задание: 2

Расстояние между пристанями A и B равно 140 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу для лодки:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 3 | -140- | 140 | |--------------|--------------|-x-+3---|--------| |П ротив течения | x − 3 | -140- | 140 | --------------------------------x-− 3-----------|

Плот плывет со скоростью течения реки, то есть со скоростью 3 км/ч. Тогда он проплывает 51 км за $51:3= 17$ часов. Исходя из того, что к этому времени лодка вернулась в пункт A, а выплыла она на час позже плота, составим уравнение:

140 140 x-+3-+ x−-3-+1 = 17 140-+ -140-= 16 x+ 3 x − 3

Разделим обе части уравнения на 4:

-35--+ -35--=4 x +3 x− 3 -35-+ -35--− 4= 0 x+ 3 x − 3 35(x− 3)+ 35(x +3)− 4(x− 3)(x+ 3) ----------(x+-3)(x-− 3)---------= 0 ( |{35(x− 3)+35(x+ 3)− 4(x − 3)(x+ 3)= 0 |x ⁄= −3 (x ⁄= 3

Решим первое уравнение системы:

35(x− 3)+ 35(x +3)− 4(x− 3)(x+ 3)= 0 35x− 105+ 35x+ 105 − 4 (x2 − 9) =0 2 70x− 0− 4x + 36= 0 4x2− 70x − 36 = 0 2x2− 35x − 18 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = (− 35)2+ 4⋅2⋅18 =1225+ 144= 1369= 372

Тогда

⌊ ⌊ |x= 35+-37 x = 18 ⌈ 352−⋅237 ⇔ ⌈x = − 1 x= --2⋅2- 2

Корень $1 x = −2$ не подходит по смыслу задачи, так как $x> 0.$ Поэтому скорость лодки равна 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#92516Максимум баллов за задание: 2

Расстояние между пристанями A и B равно 90 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 52 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу для лодки:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 4 | -90-- | 90 | |--------------|--------------|-x-+4---|--------| |П ротив течения | x − 4 | -90-- | 90 | --------------------------------x-− 4-----------|

Плот плывет со скоростью течения реки, то есть со скоростью 4 км/ч. Тогда он проплывает 52 км за $52:4= 13$ часов. Исходя из того, что к этому времени лодка вернулась в пункт A, а выплыла она на час позже плота, составим уравнение:

90 90 x-+4-+ x−-4-+1 = 13 -90-+ --90--= 12 x+ 4 x − 4

Разделим обе части полученного уравнения на 6:

-15--+ -15--=2 x +4 x− 4 -15-+ -15--− 2= 0 x+ 4 x − 4 15(x− 4)+ 15(x +4)− 2(x+ 4)(x− 4) ----------(x+-4)(x-− 4)---------= 0 ( |{15(x− 4)+15(x+ 4)− 2(x + 4)(x− 4)= 0 |x ⁄= −4 (x ⁄= 4

Решим первое уравнение системы:

15(x− 4)+ 15(x +4)− 2(x+ 4)(x− 4)= 0 15x − 60 +15x+ 60− 2(x2− 16)= 0 2 30x− 2x + 32 = 0 x2− 15x− 16= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = (−15)2+4 ⋅16 = 225 + 64 = 289 = 172

Тогда

⌊ |x = 15+-17- [x = 16 ⌈ 152− 17 ⇔ x = −1 x = --2---

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость лодки равна 16 км/ч.

Ответ: 16 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#93109Максимум баллов за задание: 2

Расстояние между пристанями A и B равно 108 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 48 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу для лодки:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 3 | -108- | 108 | |--------------|--------------|-x-+3---|--------| |П ротив течения | x − 3 | -108- | 108 | --------------------------------x-− 3-----------|

Плот плывет со скоростью течения реки, то есть со скоростью 3 км/ч. Тогда он проплывает 48 км за $48:3= 16$ часов. Исходя из того, что к этому времени лодка вернулась в пункт A, а выплыла она на час позже плота, составим уравнение:

108 108 x-+3-+ x−-3-+1 = 16 108-+ -108-= 15 x+ 3 x − 3

Разделим обе части полученного уравнения на 3:

-36--+ -36--=5 x +3 x− 3 -36-+ -36--− 5= 0 x+ 3 x − 3 36(x− 3)+ 36(x +3)− 5(x+ 3)(x− 3) ----------(x+-3)(x-− 3)---------= 0 ( |{36(x− 3)+36(x+ 3)− 5(x + 3)(x− 3)= 0 |x ⁄= −3 (x ⁄= 3

Решим первое уравнение системы:

36(x− 3)+ 36(x +3)− 5(x+ 3)(x− 3)= 0 36x− 108+ 36x+ 108 − 5 (x2 − 9) =0 2 72x− 5x + 45 = 0 5x2− 72x − 45 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = (− 72)2+ 4⋅5⋅45 =5184+ 900= 6084= 782

Тогда

⌊ ⌊ |x= 72+-78 x = 15 ⌈ 721−078 ⇔ ⌈x = − 3 x= --10-- 5

Корень $3 x = −5$ не подходит по смыслу задачи, так как $x> 0.$ Поэтому скорость лодки равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#93119Максимум баллов за задание: 2

Расстояние между пристанями A и B равно 72 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 33 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу для лодки:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 3 | -72-- | 72 | |--------------|--------------|-x-+3---|--------| |П ротив течения | x − 3 | -72-- | 72 | --------------------------------x-− 3-----------|

Плот плывет со скоростью течения реки, то есть со скоростью 3 км/ч. Тогда он проплывает 33 км за $33:3= 11$ часов. Исходя из того, что к этому времени лодка вернулась в пункт A, а выплыла она на час позже плота, составим уравнение:

72 72 x-+3-+ x−-3-+1 = 11 -72-+ --72--= 10 x+ 3 x − 3

Разделим обе части полученного уравнения на 2:

-36--+ -36--=5 x +3 x− 3 -36-+ -36--− 5= 0 x+ 3 x − 3 36(x− 3)+ 36(x +3)− 5(x+ 3)(x− 3) ----------(x+-3)(x-− 3)---------= 0 ( |{36(x− 3)+36(x+ 3)− 5(x + 3)(x− 3)= 0 |x ⁄= −3 (x ⁄= 3

Решим первое уравнение системы:

36(x− 3)+ 36(x +3)− 5(x+ 3)(x− 3)= 0 36x− 108+ 36x+ 108 − 5 (x2 − 9) =0 2 72x− 5x + 45 = 0 5x2− 72x − 45 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = (− 72)2+ 4⋅5⋅45 =5184+ 900= 6084= 782

Тогда

⌊ ⌊ |x= 72+-78 x = 15 ⌈ 721−078 ⇔ ⌈x = − 3 x= --10-- 5

Корень $3 x = −5$ не подходит по смыслу задачи, так как $x> 0.$ Поэтому скорость лодки равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#93120Максимум баллов за задание: 2

Расстояние между пристанями A и B равно 126 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 36 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу для лодки:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 4 | -126- | 126 | |--------------|--------------|-x-+4---|--------| |П ротив течения | x − 4 | -126- | 126 | --------------------------------x-− 4-----------|

Плот плывет со скоростью течения реки, то есть со скоростью 4 км/ч. Тогда он проплывает 36 км за $36:4= 9$ часов. Исходя из того, что к этому времени лодка вернулась в пункт A, а выплыла она на час позже плота, составим уравнение:

126 126 x+-4 + x-− 4-+ 1= 9 -126-+ -126--=8 x +4 x− 4

Разделим обе части уравнения на 2:

-63--+ -63--=4 x +4 x− 4 -63-+ -63--− 4= 0 x+ 4 x − 4 63(x− 4)+ 63(x +4)− 4(x− 4)(x+ 4) ----------(x+-4)(x-− 4)---------= 0 ( |{63(x− 4)+63(x+ 4)− 4(x − 4)(x+ 4)= 0 |x ⁄= −4 (x ⁄= 4

Решим первое уравнение системы:

63(x− 4)+ 63(x +4)− 4(x− 4)(x+ 4)= 0 63x − 252 +63x+ 252− 4(x2− 16)= 0 2 126x − 0− 4x + 64 = 0 4x2− 126x− 64= 0 2x2− 63x − 32 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = (− 63)2+ 4⋅2⋅32 =3969+ 256= 4225= 652

Тогда

⌊ ⌊ |x= 63+-65 x = 32 ⌈ 632−⋅265 ⇔ ⌈x = − 1 x= --2⋅2- 2

Корень $1 x = −2$ не подходит по смыслу задачи, так как $x> 0.$ Поэтому скорость лодки равна 32 км/ч.

Ответ: 32 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#93121Максимум баллов за задание: 2

Расстояние между пристанями A и B равно 48 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 25 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу для лодки:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -48-- | 48 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -48-- | 48 | --------------------------------x-− 5-----------|

Плот плывет со скоростью течения реки, то есть со скоростью 5 км/ч. Тогда он проплывает 25 км за $25:5= 5$ часов. Исходя из того, что к этому времени лодка вернулась в пункт A, а выплыла она на час позже плота, составим уравнение:

48 48 x+-5 + x-− 5-+ 1= 5 -48--+ -48--=4 x +5 x− 5

Разделим обе части уравнения на 4:

-12--+ -12--=1 x +5 x− 5 -12-+ -12--− 1= 0 x+ 5 x − 5 12(x − 5)+ 12(x+ 5)− (x − 5)(x+ 5) ---------(x+-5)(x-− 5)---------= 0 ( |{ 12(x− 5)+ 12(x + 5)− (x− 5)(x +5) =0 | x⁄= −5 ( x⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

12(x− 5)+ 12(x +5)− 1(x− 5)(x+ 5)= 0 12x− 60+ 12x+ 60− (x2− 25) =0 2 24x − 0− x + 25= 0 x2− 24x− 25= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = 242+ 4⋅25= 576+ 100 = 676 = 262

Тогда

⌊ |x = 24+-26- [x = 25 ⌈ 242− 26 ⇔ x = −1 x = --2---

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость лодки равна 25 км/ч.

Ответ: 25 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#93122Максимум баллов за задание: 2

Расстояние между пристанями A и B равно 108 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 50 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу для лодки:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -108- | 108 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -108- | 108 | --------------------------------x-− 5-----------|

Плот плывет со скоростью течения реки, то есть со скоростью 5 км/ч. Тогда он проплывает 50 км за $50:5= 10$ часов. Исходя из того, что к этому времени лодка вернулась в пункт A, а выплыла она на час позже плота, составим уравнение:

108 108 x-+5-+ x−-5-+1 = 10 -108-+ -108--=9 x +5 x− 5

Разделим обе части уравнения на 9:

-12--+ -12--=1 x +5 x− 5 -12-+ -12--− 1= 0 x+ 5 x − 5 12(x− 5)+ 12(x +5)− 1(x− 5)(x+ 5) ----------(x+-5)(x-− 5)---------= 0 ( |{12(x− 5)+12(x+ 5)− 1(x − 5)(x+ 5)= 0 |x ⁄= −5 (x ⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

12(x− 5)+ 12(x +5)− 1(x− 5)(x+ 5)= 0 12x − 60 +12x+ 60− 1(x2− 25)= 0 2 24x− 0− 1x + 25= 0 1x2− 24x − 25 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = 242+ 4⋅1⋅25= 576+ 100= 676= 262

Тогда

⌊ |x = 24+-26- [x = 25 ⌈ 224⋅−126 ⇔ x = −1 x = -2⋅1--

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость лодки равна 25 км/ч.

Ответ: 25 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#93123Максимум баллов за задание: 2

Расстояние между пристанями A и B равно 24 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 15 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу для лодки:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -24-- | 24 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -24-- | 24 | --------------------------------x-− 5-----------|

Плот плывет со скоростью течения реки, то есть со скоростью 5 км/ч. Тогда он проплывает 15 км за $15:5= 3$ часов. Исходя из того, что к этому времени лодка вернулась в пункт A, а выплыла она на час позже плота, составим уравнение:

24 24 x+-5 + x-− 5-+ 1= 3 -24--+ -24--=2 x +5 x− 5

Разделим обе части уравнения на 2:

-12--+ -12--=1 x +5 x− 5 -12-+ -12--− 1= 0 x+ 5 x − 5 12(x− 5)+ 12(x +5)− 1(x− 5)(x+ 5) ----------(x+-5)(x-− 5)---------= 0 ( |{12(x− 5)+12(x+ 5)− 1(x − 5)(x+ 5)= 0 |x ⁄= −5 (x ⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

12(x− 5)+ 12(x +5)− 1(x− 5)(x+ 5)= 0 12x − 60 +12x+ 60− 1(x2− 25)= 0 2 24x− 0− 1x + 25= 0 1x2− 24x − 25 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = 242+ 4⋅1⋅25= 576+ 100= 676= 262

Тогда

⌊ |x = 24+-26- [x = 25 ⌈ 224⋅−126 ⇔ x = −1 x = -2⋅1--

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость лодки равна 25 км/ч.

Ответ: 25 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#37875Максимум баллов за задание: 2

Расстояние между пристанями A и B равно 45 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 28 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 27

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу для лодки:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 4 | -45-- | 45 | |--------------|--------------|-x-+4---|--------| |П ротив течения | x − 4 | -45-- | 45 | --------------------------------x-− 4-----------|

Плот плывет со скоростью течения реки, то есть со скоростью 4 км/ч. Тогда он проплывает 28 км за $28:4= 7$ часов. Исходя из того, что к этому времени лодка вернулась в пункт A, а выплыла она на час позже плота, составим уравнение:

45 45 x+-4 + x-− 4-+ 1= 7 -45--+ -45--=6 x +4 x− 4

Разделим обе части уравнения на 3:

-15--+ -15--=2 x +4 x− 4 -15-+ -15--− 2= 0 x+ 4 x − 4 15(x− 4)+ 15(x +4)− 2(x− 4)(x+ 4) ----------(x+-4)(x-− 4)---------= 0 ( |{15(x− 4)+15(x+ 4)− 2(x − 4)(x+ 4)= 0 |x ⁄= −4 (x ⁄= 4

Решим первое уравнение системы:

15(x− 4)+ 15(x +4)− 2(x− 4)(x+ 4)= 0 15x − 60 +15x+ 60− 2(x2− 16)= 0 2 30x− 0− 2x + 32= 0 2x2− 30x − 32 = 0 x2− 15x− 16= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = (−15)2+4 ⋅16 = 225 + 64 = 289 = 172

Тогда

⌊ |x = 15+-17- [x = 16 ⌈ 152− 17 ⇔ x = −1 x = --2---

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость лодки равна 16 км/ч.

Ответ: 16 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92284Максимум баллов за задание: 2

Расстояние между пристанями A и B равно 60 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 28

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу для лодки:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -60-- | 60 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -60-- | 60 | --------------------------------x-− 5-----------|

Плот плывет со скоростью течения реки, то есть со скоростью 5 км/ч. Тогда он проплывает 30 км за $30:5= 6$ часов. Исходя из того, что к этому времени лодка вернулась в пункт A, а выплыла она на час позже плота, составим уравнение:

60 60 x+-5 + x-− 5-+ 1= 6 -60--+ -60--=5 x +5 x− 5

Разделим обе части полученного уравнения на 5:

-12--+ -12--=1 x +5 x− 5 -12-+ -12--− 1= 0 x+ 5 x − 5 12(x − 5)+ 12(x+ 5)− (x +5)(x− 5) ---------(x+-5)(x-− 5)---------= 0 ( |{ 12(x− 5)+ 12(x + 5)− (x+ 5)(x − 5) =0 | x⁄= −5 ( x⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

12(x − 5)+ 12(x+ 5)− (x +5)(x− 5)= 0 12x− 60+ 12x+ 60− (x2− 25) =0 2 24x− x + 25= 0 x2− 24x− 25= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = (− 24)2+ 4⋅25= 576+ 100= 676= 262

Тогда

⌊ |x = 24+-26- [x = 25 ⌈ 242− 26 ⇔ x = −1 x = --2---

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость лодки равна 25 км/ч.

Ответ:

25 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2