Тема Задачи №22 из банка ФИПИ

17 №22. Тип 17

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи №22 из банка фипи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#27287Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции $-2,5|x|−-1- y = |x|− 2,5x2.$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 34 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

При $x = 0$ знаменатель обращается в 0.

Раскроем модуль, с учетом замечания выше:

$pict$

Упростим условия на $x:$

1) 2,5x− 1⁄= 0 2,5x ⁄= 1 5x ⁄= 2 x⁄= 2 2) − 2,5x5− 1⁄= 0 − 2,5x⁄= 1 −5x ⁄= 2 x ⁄=− 2 5

Таким образом, исходная функция теперь выглядит так:

( |{ − 1 при x> 0, x ⁄= 2 y = | x 5 ( 1x при x< 0, x ⁄= − 25

Графиком функции $y = − 1 x$ является гипербола. Построим таблицу значений:

|x-|0,5-|-1-|-2---| |y-|−2-|−1-|−0,5-| ------------------

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

2 1 x = 5 ⇒ y = −2-= −2,5. 5

Точка $(0,4;− 2,5)$ является выколотой точкой.

Графиком функции $y = 1 x$ также является гипербола. Построим таблицу значений:

|--|-----|---|----| |x-|−0,5-|−1-|−-2-| -y---−2---−1--−0,5-

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

x= − 2 ⇒ y = − 1-= −2,5. 5 25

Точка $(− 0,4;−2,5)$ является выколотой точкой.

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$xy0−1234−1234−−−−(−(01243210,4,;4;−−22,5,5))$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она не имеет с графиком функции общих точек.

$2525 xy011((y(y(y(−0, =3) =2)=1)0,4;4;−−0−242,54 x,5))x$

Нам подходят три положения 1, 2 и 3 прямой $y = kx.$

Положение 1: Прямая $y = kx$ совпадает с осью абсцисс и является асимптотой гиперболы, значит, $k = 0.$

Положение 2: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(−0,4;− 2,5).$ Найдем $k :$

5 2 25 − 2 = − 5 ⋅k ⇔ k = 4-.

Положение 3: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(0,4;−2,5).$ Найдем $k :$

− 5= 2 ⋅k ⇔ k = − 25. 2 5 4

Следовательно, ответ

{ 25 25} k ∈ − 4 ;0; 4 .

Ответ:

${ } k ∈ − 25;0; 25 4 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#60989Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

4,5|x|− 1 y = |x|−-4,5x2.

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

При $x = 0$ знаменатель обращается в 0.

Раскроем модуль, с учетом замечания выше:

$pict$

Упростим условия на $x:$

1) 4,5x− 1⁄= 0 4,5x ⁄= 1 9x ⁄= 2 x⁄= 2 2) − 4,5x9− 1⁄= 0 − 4,5x⁄= 1 −9x ⁄= 2 x ⁄=− 2 9

Таким образом, исходная задача теперь выглядит так:

( |{− 1, x> 0, x ⁄= 2 y = | x 9 ( 1x, x < 0, x⁄= − 29

График функции при $x >0, x⁄= 2 9$ — это гипербола $y = − 1. x$ Построим таблицу значений для гиперболы при $2 x > 0, x⁄= 9 :$


$x$	1	2	4	$1 2$	$1 4$

$y$	$− 1$	$− 1 2$	$− 1 4$	$− 2$	$− 4$

Найдем координаты выколотой точки на этом участке: если $2 x= 9,$ то $y = − 12-= − 9 . 9 2$

Точка $( ) 2; − 9 9 2$ является выколотой точкой.

График функции при $2 x <0, x⁄= − 9$ — это гипербола $1 y = x.$ Построим таблицу значений для гиперболы при $x < 0, x⁄= − 2 : 9$


$x$	$− 1$	$− 2$	$− 4$	$− 1 2$	$− 1 4$

$y$	$− 1$	$− 12$	$− 14$	$− 2$	$− 4$

Найдем координаты выколотой точки на этом участке: если $x= − 2, 9$ то $y = -12-= − 9 . −9 2$

Точка $( ) − 2; − 9 9 2$ является выколотой точкой.

Построим график функции:

$xy110$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Прямая $y = kx$ не имеет точек пересечения в трёх случаях:

1.: Прямая $y = kx$ совпадает с осью $Ox.$ В этом случае $k = 0.$
2.: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $( 2 9) 9; − 2 .$ Найдём $k :$ $− 9= 2k ⇔ k = − 81 2 9 4$
3.: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(− 2; − 9). 9 2$ Найдём $k :$ $− 9= − 2k ⇔ k = 81 2 9 4$

Таким образом, ${ } k ∈ − 81; 0; 81 . 4 4$

Ответ:

${ } k ∈ − 81; 0; 81 4 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#124534Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

1,5|x|− 1 y = |x|−-1,5x2.

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

При $x = 0$ знаменатель обращается в 0.

Раскроем модуль, с учетом замечания выше:

$pict$

Упростим условия на $x:$

1) 1,5x− 1⁄= 0 1,5x ⁄= 1 3x ⁄= 2 x⁄= 2 2) − 1,5x3− 1⁄= 0 − 1,5x⁄= 1 −3x ⁄= 2 x ⁄=− 2 3

Таким образом, исходная функция теперь выглядит так:

( |{ − 1 при x> 0, x ⁄= 2 y = | x 3 ( 1x при x< 0, x ⁄= − 23

Графиком функции $y = − 1 x$ является гипербола. Построим таблицу значений:

|x-|0,5-|-1-|-2---| |y-|−2-|−1-|−0,5-| ------------------

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

2 1 x = 3 ⇒ y = −2-= −1,5. 3

Точка $( ) 2;− 1,5 3$ является выколотой точкой.

Графиком функции $1 y = x$ также является гипербола. Построим таблицу значений:

|x-|−0,5-|−1-|−-2-| |y-|-−2--|−1-|−0,5| -------------------

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

2 1 x= − 3 ⇒ y = − 2-= −1,5. 3

Точка $( ) − 2;−1,5 3$ является выколотой точкой.

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$((22 )) xy0−1234−1234−−−−124321−33;;−−1,1,55$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она не имеет с графиком функции общих точек.

$xy011((y(y(y(−2 =3) =2)=1) 2;;−−90−11,59x,5)x) 334 4$

Нам подходят три положения 1, 2 и 3 прямой $y = kx.$

Положение 1: Прямая $y = kx$ совпадает с осью абсцисс и является асимптотой гиперболы, значит, $k = 0.$

Положение 2: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $( 2 ) −3;−1,5 .$ Найдем $k :$

3 2 9 − 2 = −3 ⋅k ⇔ k = 4.

Положение 3: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $( 2 ) 3;−1,5 .$ Найдем $k :$

3 2 9 − 2 = 3 ⋅k ⇔ k = −4.

Следовательно, ответ

{ 9 9 } k ∈ − 4;0;4 .

Ответ:

${ } k ∈ − 9;0; 9 4 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#124535Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

3,5|x|− 1 y = |x|−-3,5x2.

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

При $x = 0$ знаменатель обращается в 0.

Раскроем модуль, с учетом замечания выше:

$pict$

Упростим условия на $x:$

1) 3,5x− 1⁄= 0 3,5x ⁄= 1 7x ⁄= 2 x⁄= 2 2) − 3,5x7− 1⁄= 0 − 3,5x⁄= 1 −7x ⁄= 2 x ⁄=− 2 7

Таким образом, исходная функция теперь выглядит так:

( |{ − 1 при x> 0, x ⁄= 2 y = | x 7 ( 1x при x< 0, x ⁄= − 27

Графиком функции $y = − 1 x$ является гипербола. Построим таблицу значений:

|x-|0,5-|-1-|-2---| |y-|−2-|−1-|−0,5-| ------------------

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

2 1 x = 7 ⇒ y = −2-= −3,5. 7

Точка $( ) 2;− 3,5 7$ является выколотой точкой.

Графиком функции $1 y = x$ также является гипербола. Построим таблицу значений:

|x-|−0,5-|−1-|−-2-| |y-|-−2--|−1-|−0,5| -------------------

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

2 1 x= − 7 ⇒ y = − 2-= −3,5. 7

Точка $( ) − 2;−3,5 7$ является выколотой точкой.

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$((22 )) xy0−1234−1234−−−−124321−77;;−−3,3,55$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она не имеет с графиком функции общих точек.

$xy011((y(y(y(−2 =3) =2)=1) 2;;−−40−393,54x,5)9)x 77 44$

Нам подходят три положения 1, 2 и 3 прямой $y = kx.$

Положение 1: Прямая $y = kx$ совпадает с осью абсцисс и является асимптотой гиперболы, значит, $k = 0.$

Положение 2: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $( 2 ) −7;−3,5 .$ Найдем $k :$

7 2 49 − 2 = − 7 ⋅k ⇔ k = 4 .

Положение 3: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $( 2 ) 7;−3,5 .$ Найдем $k :$

7 2 49 − 2 = 7 ⋅k ⇔ k = − 4-.

Следовательно, ответ

{ 49 49} k ∈ − 4 ;0; 4 .

Ответ:

${ } k ∈ − 49;0; 49 4 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#124537Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

4|x|− 1 y = |x|− 4x2.

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

При $x = 0$ знаменатель обращается в 0.

Раскроем модуль, с учетом замечания выше:

$pict$

Упростим условия на $x:$

1) 4x− 1 ⁄=0 4x ⁄= 1 1 x⁄= 4 2)− 4x− 1⁄= 0 −4x ⁄= 1 1 x ⁄=− 4

Таким образом, исходная функция теперь выглядит так:

( |{ − 1 при x> 0, x ⁄= 1 y = x 4 |( 1 при x< 0, x ⁄= − 1 x 4

Графиком функции $y = − 1 x$ является гипербола. Построим таблицу значений:

|--|---|---|-----| |x-|0,5-|-1-|-2---| -y--−2--−1--−0,5--

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

1 1 x = 4 ⇒ y = − 1-= −4. 4

Точка $(0,25;−4)$ является выколотой точкой.

Графиком функции $y = 1 x$ также является гипербола. Построим таблицу значений:

|--|-----|---|----| |x-|−0,5-|−1-|−-2-| -y---−2---−1--−0,5-

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

x = − 1 ⇒ y = − 1= − 4. 4 14

Точка $(− 0,25;− 4)$ является выколотой точкой.

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$xy0−1234−1234−−−−(−(01243210,2,525;;−−4)4)$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она не имеет с графиком функции общих точек.

$xy011((y(y(y(−0, =3) =2)=1)0,2525;−10;−6−41x4)6x)$

Нам подходят три положения 1, 2 и 3 прямой $y = kx.$

Положение 1: Прямая $y = kx$ совпадает с осью абсцисс и является асимптотой гиперболы, значит, $k = 0.$

Положение 2: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(−0,25;− 4).$ Найдем $k :$

− 4= − 1⋅k ⇔ k = 16. 1 4

Положение 3: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(0,25;−4).$ Найдем $k :$

− 4= 1⋅k ⇔ k =− 16. 1 4

Следовательно, ответ

k ∈ {−16;0;16}.

Ответ:

$k ∈{− 16;0;16}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#124538Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

|x|− 1 y = |x|−-x2.

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

При $x = 0$ знаменатель обращается в 0.

Раскроем модуль, с учетом замечания выше:

$pict$

Упростим условия на $x:$

1) x− 1⁄= 0 x ⁄=1 2)− x − 1⁄= 0 − x⁄= 1 x ⁄= −1

Таким образом, исходная функция теперь выглядит так:

( 1 |{ − x при x >0, x ⁄= 1 y = | 1 ( x при x <0, x ⁄= −1

Графиком функции $y = − 1 x$ является гипербола. Построим таблицу значений:

|--|---|---|-----| |x-|0,5-|-1-|-2---| -y--−2--−1--−0,5--

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

x = 1 ⇒ y = − 1= − 1. 1

Точка $(1;−1)$ является выколотой точкой.

Графиком функции $y = 1 x$ также является гипербола. Построим таблицу значений:

|--|-----|---|----| |x-|−0,5-|−1-|−-2-| -y---−2---−1--−0,5-

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

x= −1 ⇒ y = − 1 = −1. 1

Точка $(− 1;− 1)$ является выколотой точкой.

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$xy0−1234−1234−−−−(−(11243211;;−−1)1)$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она не имеет с графиком функции общих точек.

$xy011−((y(y(y(1−1; =3) =2)=1)1;−−1−x01))x$

Нам подходят три положения 1, 2 и 3 прямой $y = kx.$

Положение 1: Прямая $y = kx$ совпадает с осью абсцисс и является асимптотой гиперболы, значит, $k = 0.$

Положение 2: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(− 1;− 1).$ Найдем $k :$

− 1= −k ⇔ k = 1.

Положение 3: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(1;−1).$ Найдем $k :$

− 1= k ⇔ k =− 1.

Следовательно, ответ

k ∈ {−1;0;1}.

Ответ:

$k ∈{− 1;0;1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#124539Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

3|x|− 1 y = |x|− 3x2.

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

При $x = 0$ знаменатель обращается в 0.

Раскроем модуль, с учетом замечания выше:

$pict$

Упростим условия на $x:$

1) 3x− 1 ⁄=0 3x ⁄= 1 1 x⁄= 3 2)− 3x− 1⁄= 0 −3x ⁄= 1 1 x ⁄=− 3

Таким образом, исходная функция теперь выглядит так:

( |{ − 1 при x> 0, x ⁄= 1 y = x 3 |( 1 при x< 0, x ⁄= − 1 x 3

Графиком функции $y = − 1 x$ является гипербола. Построим таблицу значений:

|--|---|---|-----| |x-|0,5-|-1-|-2---| -y--−2--−1--−0,5--

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

1 1 x = 3 ⇒ y = − 1-= −3. 3

Точка $( ) 1;− 3 3$ является выколотой точкой.

Графиком функции $y = 1 x$ также является гипербола. Построим таблицу значений:

|--|-----|---|----| |xy-|−0−,25-|−−11-|−−02,5| -------------------

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

x = − 1 ⇒ y = − 1= − 3. 3 13

Точка $( 1 ) − 3;−3$ является выколотой точкой.

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$xy0−1234−1234−−−−((124321−1 1;;−−3)3) 33$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она не имеет с графиком функции общих точек.

$((11 )) xy011y(y(y(−3 =3) =2)=1)3;;−−90−3x39x$

Нам подходят три положения 1, 2 и 3 прямой $y = kx.$

Положение 1: Прямая $y = kx$ совпадает с осью абсцисс и является асимптотой гиперболы, значит, $k = 0.$

Положение 2: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $( ) − 1;− 3 . 3$ Найдем $k :$

1 −3 = −3 ⋅k ⇔ k = 9.

Положение 3: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $( ) 1;−3 . 3$ Найдем $k :$

−3 = 1⋅k ⇔ k = −9. 3

Следовательно, ответ

k ∈ {−9;0;9}.

Ответ:

$k ∈{− 9;0;9}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#45467Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции $y =-2|x|−-1. |x|− 2x2$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 33 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

При $x = 0$ знаменатель обращается в 0.

Раскроем модуль, с учетом замечания выше:

$pict$

Упростим условия на $x:$

1) 2x− 1 ⁄=0 2x ⁄= 1 1 x⁄= 2 2)− 2x− 1⁄= 0 −2x ⁄= 1 1 x ⁄=− 2

Таким образом, исходная функция теперь выглядит так:

( |{ − 1 при x> 0, x ⁄= 1 y = x 2 |( 1 при x< 0, x ⁄= − 1 x 2

Графиком функции $y = − 1 x$ является гипербола. Построим таблицу значений:

|--|---|---|-----| |x-|0,5-|-1-|-2---| -y--−2--−1--−0,5--

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

1 1 x = 2 ⇒ y = − 1-= −2. 2

Точка $(0,5;− 2)$ является выколотой точкой.

Графиком функции $y = 1 x$ также является гипербола. Построим таблицу значений:

|--|-----|---|----| |x-|−0,5-|−1-|−-2-| -y---−2---−1--−0,5-

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

x = − 1 ⇒ y = − 1= − 2. 2 12

Точка $(− 0,5;−2)$ является выколотой точкой.

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$xy0−1234−1234−−−−(−(01243210,5,;5;−−22))$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она не имеет с графиком функции общих точек.

$xy011((y(y(y(−0, =3) =2)=1)0,5;5;−−40−2x2)4)x$

Нам подходят три положения 1, 2 и 3 прямой $y = kx.$

Положение 1: Прямая $y = kx$ совпадает с осью абсцисс и является асимптотой гиперболы, значит, $k = 0.$

Положение 2: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(−0,5;− 2).$ Найдем $k :$

1 −2 = −2 ⋅k ⇔ k = 4.

Положение 3: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(0,5;− 2).$ Найдем $k :$

−2 = 1⋅k ⇔ k = −4. 2

Следовательно, ответ

k ∈ {−4;0;4}.

Ответ:

$− 4; 0; 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2