01 №23. Тип 1 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38722Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M.$ Найдите $MC,$ если $AB =18,DC = 54,AC = 48.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM.$ В них $∠AMB = ∠CMD$ как вертикальные углы, а $∠ABD = ∠CDB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD.$

Тогда треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AB- = AM--= BM--. CD CM DM

$ABCD15x4848M− x$

Пусть $CM = x.$ Так как $AC =48$ по условию, то

AM = AC − CM =48 − x.

Тогда из отношения $AB- AM-- CD = CM$ получаем уравнение:

18 = 48−-x 54 x 18x= 54⋅(48− x) x = 3⋅(48 − x) x = 144 − 3x 4x= 144 x= 36

Значит, $CM = 36.$

Ответ: 36

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#57402Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M.$ Найдите $MC,$ если $AB = 14,$ $DC =42,$ $AC = 52.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM.$ В них $∠AMB = ∠CMD$ как вертикальные углы, а $∠ABD = ∠CDB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD.$

Тогда треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AB- = AM--= BM--. CD CM DM

$ABCD14x5422M− x$

Пусть $CM = x.$ Так как $AC =52$ по условию, то

AM = AC − CM =52 − x.

Тогда из отношения $AB- = AM-- CD CM$ получаем уравнение:

14 = 52−-x 42 x 14x= 42⋅(52− x) x = 3⋅(52 − x) x = 156 − 3x 4x= 156 x= 39

Значит, $CM = 39.$

Ответ:

39

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95499Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M.$ Найдите $MC,$ если $AB = 16,$ $DC =24,$ $AC = 25.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM.$ В них $∠AMB = ∠CMD$ как вертикальные углы, а $∠ABD = ∠CDB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD.$

Тогда треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AB- = AM--= BM--. CD CM DM

$ABCD12x2645M− x$

Пусть $CM = x.$ Так как $AC =25$ по условию, то

AM = AC − CM =25 − x.

Тогда из отношения $AB- = AM-- CD CM$ получаем уравнение:

16 = 25−-x 24 x 16x= 24⋅(25− x) 4x= 6⋅(25− x) 4x= 150− 6x 10x =150 x= 15

Значит, $CM = 15.$

Ответ: 15

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95504Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M.$ Найдите $MC,$ если $AB = 12,$ $DC =48,$ $AC = 35.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM.$ В них $∠AMB = ∠CMD$ как вертикальные углы, а $∠ABD = ∠CDB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD.$

Тогда треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AB- = AM--= BM--. CD CM DM

$ABCD14x3285M− x$

Пусть $CM = x.$ Так как $AC =35$ по условию, то

AM = AC − CM =35 − x.

Тогда из отношения $AB AM CD- = CM--$ получаем уравнение:

12 = 35−-x 48 x 12x= 48⋅(35− x) x = 4⋅(35 − x) x = 140 − 4x 5x= 140 x= 28

Значит, $CM = 28.$

Ответ: 28

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#95508Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M.$ Найдите $MC,$ если $AB = 11,$ $DC =55,$ $AC = 30.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM.$ В них $∠AMB = ∠CMD$ как вертикальные углы, а $∠ABD = ∠CDB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD.$

Тогда треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AB- = AM--= BM--. CD CM DM

$ABCD15x3150M− x$

Пусть $CM = x.$ Так как $AC =30$ по условию, то

AM = AC − CM =30 − x.

Тогда из отношения $AB AM CD- = CM--$ получаем уравнение:

11 = 30−-x 55 x 11x= 55⋅(30− x) x = 5⋅(30 − x) x = 150 − 5x 6x= 150 x= 25

Значит, $CM = 25.$

Ответ: 25

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#95510Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M.$ Найдите $MC,$ если $AB = 10,$ $DC =25,$ $AC = 56.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM.$ В них $∠AMB = ∠CMD$ как вертикальные углы, а $∠ABD = ∠CDB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD.$

Тогда треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AB- = AM--= BM--. CD CM DM

$ABCD12x5056M− x$

Пусть $CM = x.$ Так как $AC =56$ по условию, то

AM = AC − CM =56 − x.

Тогда из отношения $AB- = AM-- CD CM$ получаем уравнение:

10 = 56−-x 25 x 10x= 25⋅(56− x) 2x= 5⋅(56− x) 2x= 280− 5x 7x= 280 x= 40

Значит, $CM = 40.$

Ответ: 40

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#95511Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M.$ Найдите $MC,$ если $AB = 11,$ $DC =22,$ $AC = 27.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM.$ В них $∠AMB = ∠CMD$ как вертикальные углы, а $∠ABD = ∠CDB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD.$

Тогда треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AB- = AM--= BM--. CD CM DM

$ABCD12x2127M− x$

Пусть $CM = x.$ Так как $AC =27$ по условию, то

AM = AC − CM =27 − x.

Тогда из отношения $AB- = AM-- CD CM$ получаем уравнение:

11 = 27−-x 22 x 11x= 22⋅(27− x) x = 2⋅(27 − x) x= 54− 2x 3x =54 x= 18

Значит, $CM = 18.$

Ответ: 18

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#95512Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M.$ Найдите $MC,$ если $AB = 13,$ $DC =65,$ $AC = 42.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM.$ В них $∠AMB = ∠CMD$ как вертикальные углы, а $∠ABD = ∠CDB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD.$

Тогда треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AB- = AM--= BM--. CD CM DM

$ABCD16x4352M− x$

Пусть $CM = x.$ Так как $AC =42$ по условию, то

AM = AC − CM =42 − x.

Тогда из отношения $AB AM CD- = CM--$ получаем уравнение:

13 = 42−-x 65 x 13x= 65⋅(42− x) x = 5⋅(42 − x) x = 210 − 5x 6x= 210 x= 35

Значит, $CM = 35.$

Ответ: 35

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#42864Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M.$ Найдите $MC,$ если $AB = 14,$ $DC =56,$ $AC = 40.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 25

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM.$ В них $∠AMB = ∠CMD$ как вертикальные углы, а $∠ABD = ∠CDB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD.$

Тогда треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AB- = AM--= BM--. CD CM DM

$ABCD15x4460M− x$

Пусть $CM = x.$ Так как $AC =40$ по условию, то

AM = AC − CM =40 − x.

Тогда из отношения $AB AM CD- = CM--$ получаем уравнение:

14 = 40−-x 56 x 14x= 56⋅(40− x) x = 4⋅(40 − x) x = 160 − 4x 5x= 160 x= 32

Значит, $CM = 32.$

Ответ: 32

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31921Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M.$ Найдите $MC,$ если $AB = 15,$ $DC = 30,$ $AC = 39.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 26

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM.$ В них $∠AMB = ∠CMD$ как вертикальные углы, а $∠ABD = ∠CDB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD.$

Тогда треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AB- = AM--= BM--. CD CM DM

$ABCD13x3509M− x$

Пусть $CM = x.$ Так как $AC =39$ по условию, то

AM = AC − CM =39 − x.

Тогда из отношения $AB- = AM-- CD CM$ получаем уравнение:

15 = 39−-x 30 x 15x= 30⋅(39− x) x = 2⋅(39 − x) x= 78− 2x 3x =78 x= 26

Значит, $CM = 26.$

Ответ: 26

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2