12 №23. Тип 12 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#55644Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD,$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF,$ если $AD = 25,$ $BC = 15,$ $CF :DF = 3:2.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По теореме Фалеса для параллельных секущих $BC,$ $EF$ и $AD$ и прямых $AB$ и $DC :$

BE- -CF 3 AE = DF = 2.

Проведем диагональ $BD$ трапеции $ABCD.$ Пусть отрезок $EF$ пересекает $BD$ в точке $O.$

Рассмотрим треугольники $BCD$ и $OF D.$ В них $∠BCD = ∠OF D$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $OF$ и секущей $CD,$ а $∠BDC$ — общий. Значит, треугольники $BCD$ и $OF D$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

BC CD DF + CF OF-= DF- = --DF----= CF 3 5 =1 + DF-= 1+ 2 = 2.

Таким образом,

OF = 2 ⋅BC = 2⋅15= 6. 5 5

$ABCDEOF32322161aabb555$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $EBO.$ В них $∠BAD = ∠BEO$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $EO$ и секущей $AB,$ а $∠ABD$ — общий. Значит, треугольники $ABD$ и $EBO$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

AD-= AB- = BE-+-AE-= EO BE BE =1 + AE-= 1+ 2 = 5. BE 3 3

Таким образом,

EO = 3⋅AD = 3 ⋅25= 15. 5 5

Тогда

EF = EO + OF = 15+ 6= 21.

Ответ: 21

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95702Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD,$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF,$ если $AD = 42,$ $BC = 14,$ $CF :DF = 4:3.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По теореме Фалеса для параллельных секущих $BC,$ $EF$ и $AD$ и прямых $AB$ и $DC :$

BE- -CF 4 AE = DF = 3.

Проведем диагональ $BD$ трапеции $ABCD.$ Пусть отрезок $EF$ пересекает $BD$ в точке $O.$

Рассмотрим треугольники $BCD$ и $OF D.$ В них $∠BCD = ∠OF D$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $OF$ и секущей $CD,$ а $∠BDC$ — общий. Значит, треугольники $BCD$ и $OF D$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

BC CD DF + CF OF-= DF- = --DF----= CF 4 7 =1 + DF-= 1+ 3 = 3.

Таким образом,

OF = 3 ⋅BC = 3⋅14= 6. 7 7

$ABCDEOF43434162aabb244$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $EBO.$ В них $∠BAD = ∠BEO$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $EO$ и секущей $AB,$ а $∠ABD$ — общий. Значит, треугольники $ABD$ и $EBO$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

AD-= AB- = BE-+-AE-= EO BE BE =1 + AE-= 1+ 3 = 7. BE 4 4

Таким образом,

EO = 4⋅AD = 4 ⋅42= 24. 7 7

Тогда

EF = EO + OF = 24+ 6= 30.

Ответ: 30

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95703Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD,$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF,$ если $AD = 45,$ $BC = 27,$ $CF :DF = 5:4.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По теореме Фалеса для параллельных секущих $BC,$ $EF$ и $AD$ и прямых $AB$ и $DC :$

BE- -CF 5 AE = DF = 4.

Проведем диагональ $BD$ трапеции $ABCD.$ Пусть отрезок $EF$ пересекает $BD$ в точке $O.$

Рассмотрим треугольники $BCD$ и $OF D.$ В них $∠BCD = ∠OF D$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $OF$ и секущей $CD,$ а $∠BDC$ — общий. Значит, треугольники $BCD$ и $OF D$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

BC CD DF + CF OF-= DF- = --DF----= CF 5 9 =1 + DF-= 1+ 4 = 4.

Таким образом,

OF = 4⋅BC = 4 ⋅27= 12. 9 9

$ABCDEOF54544212aabb5725$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $EBO.$ В них $∠BAD = ∠BEO$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $EO$ и секущей $AB,$ а $∠ABD$ — общий. Значит, треугольники $ABD$ и $EBO$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

AD-= AB- = BE-+-AE-= EO BE BE =1 + AE-= 1+ 4 = 9. BE 5 5

Таким образом,

EO = 5⋅AD = 5 ⋅45= 25. 9 9

Тогда

EF = EO + OF = 25 + 12 = 37.

Ответ: 37

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95704Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD,$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF,$ если $AD = 33,$ $BC = 18,$ $CF :DF = 2:1.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По теореме Фалеса для параллельных секущих $BC,$ $EF$ и $AD$ и прямых $AB$ и $DC :$

BE- CF- AE = DF = 2.

Проведем диагональ $BD$ трапеции $ABCD.$ Пусть отрезок $EF$ пересекает $BD$ в точке $O.$

Рассмотрим треугольники $BCD$ и $OF D.$ В них $∠BCD = ∠OF D$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $OF$ и секущей $CD,$ а $∠BDC$ — общий. Значит, треугольники $BCD$ и $OF D$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

BC CD DF + CF OF-= DF- = --DF----= CF = 1+ DF- = 1+ 2= 3.

Таким образом,

OF = 1 ⋅BC = 1⋅18= 6. 3 3

$ABCDEOF2a2b3162ab382$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $EBO.$ В них $∠BAD = ∠BEO$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $EO$ и секущей $AB,$ а $∠ABD$ — общий. Значит, треугольники $ABD$ и $EBO$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

AD-= AB- = BE-+-AE-= EO BE BE =1 + AE-= 1+ 1 = 3. BE 2 2

Таким образом,

EO = 2⋅AD = 2 ⋅33= 22. 3 3

Тогда

EF = EO + OF = 22+ 6= 28.

Ответ: 28

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#95705Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD,$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF,$ если $AD = 36,$ $BC = 18,$ $CF :DF = 7:2.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По теореме Фалеса для параллельных секущих $BC,$ $EF$ и $AD$ и прямых $AB$ и $DC :$

BE- -CF 7 AE = DF = 2.

Проведем диагональ $BD$ трапеции $ABCD.$ Пусть отрезок $EF$ пересекает $BD$ в точке $O.$

Рассмотрим треугольники $BCD$ и $OF D.$ В них $∠BCD = ∠OF D$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $OF$ и секущей $CD,$ а $∠BDC$ — общий. Значит, треугольники $BCD$ и $OF D$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

BC CD DF + CF OF-= DF- = --DF----= CF 7 9 =1 + DF-= 1+ 2 = 2.

Таким образом,

OF = 2 ⋅BC = 2⋅18= 4. 9 9

$ABCDEOF72723142aabb688$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $EBO.$ В них $∠BAD = ∠BEO$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $EO$ и секущей $AB,$ а $∠ABD$ — общий. Значит, треугольники $ABD$ и $EBO$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

AD-= AB- = BE-+-AE-= EO BE BE =1 + AE-= 1+ 2 = 9. BE 7 7

Таким образом,

EO = 7⋅AD = 7 ⋅36= 28. 9 9

Тогда

EF = EO + OF = 28+ 4= 32.

Ответ: 32

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#95706Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD,$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF,$ если $AD = 45,$ $BC = 20,$ $CF :DF = 4:1.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По теореме Фалеса для параллельных секущих $BC,$ $EF$ и $AD$ и прямых $AB$ и $DC :$

BE- CF- AE = DF = 4.

Проведем диагональ $BD$ трапеции $ABCD.$ Пусть отрезок $EF$ пересекает $BD$ в точке $O.$

Рассмотрим треугольники $BCD$ и $OF D.$ В них $∠BCD = ∠OF D$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $OF$ и секущей $CD,$ а $∠BDC$ — общий. Значит, треугольники $BCD$ и $OF D$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

BC CD DF + CF OF-= DF- = --DF----= CF = 1+ DF- = 1+ 4= 5.

Таким образом,

OF = 1 ⋅BC = 1⋅20= 4. 5 5

$ABCDEOF4a4b4243ab506$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $EBO.$ В них $∠BAD = ∠BEO$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $EO$ и секущей $AB,$ а $∠ABD$ — общий. Значит, треугольники $ABD$ и $EBO$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

AD-= AB- = BE-+-AE-= EO BE BE =1 + AE-= 1+ 1 = 5. BE 4 4

Таким образом,

EO = 4⋅AD = 4 ⋅45= 36. 5 5

Тогда

EF = EO + OF = 36+ 4= 40.

Ответ: 40

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#95707Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD,$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF,$ если $AD = 50,$ $BC = 30,$ $CF :DF = 7:3.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По теореме Фалеса для параллельных секущих $BC,$ $EF$ и $AD$ и прямых $AB$ и $DC :$

BE- -CF 7 AE = DF = 3.

Проведем диагональ $BD$ трапеции $ABCD.$ Пусть отрезок $EF$ пересекает $BD$ в точке $O.$

Рассмотрим треугольники $BCD$ и $OF D.$ В них $∠BCD = ∠OF D$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $OF$ и секущей $CD,$ а $∠BDC$ — общий. Значит, треугольники $BCD$ и $OF D$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

BC CD DF + CF OF-= DF- = --DF----= CF 7 10 = 1+ DF- = 1+ 3 = 3-.

Таким образом,

OF = -3 ⋅BC = 3-⋅30= 9. 10 10

$ABCDEOF73735393aabb005$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $EBO.$ В них $∠BAD = ∠BEO$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $EO$ и секущей $AB,$ а $∠ABD$ — общий. Значит, треугольники $ABD$ и $EBO$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

AD-= AB- = BE-+-AE-= EO BE BE = 1+ AE- = 1+ 3 = 10. BE 7 7

Таким образом,

EO = 7-⋅AD = -7 ⋅50= 35. 10 10

Тогда

EF = EO + OF = 35+ 9= 44.

Ответ: 44

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#95708Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD,$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF,$ если $AD = 44,$ $BC = 24,$ $CF :DF = 3:1.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По теореме Фалеса для параллельных секущих $BC,$ $EF$ и $AD$ и прямых $AB$ и $DC :$

BE- CF- AE = DF = 3.

Проведем диагональ $BD$ трапеции $ABCD.$ Пусть отрезок $EF$ пересекает $BD$ в точке $O.$

Рассмотрим треугольники $BCD$ и $OF D.$ В них $∠BCD = ∠OF D$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $OF$ и секущей $CD,$ а $∠BDC$ — общий. Значит, треугольники $BCD$ и $OF D$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

BC CD DF + CF OF-= DF- = --DF----= CF = 1+ DF- = 1+ 3= 4.

Таким образом,

OF = 1 ⋅BC = 1⋅24= 6. 4 4

$ABCDEOF3a3b4263ab443$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $EBO.$ В них $∠BAD = ∠BEO$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $EO$ и секущей $AB,$ а $∠ABD$ — общий. Значит, треугольники $ABD$ и $EBO$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

AD-= AB- = BE-+-AE-= EO BE BE =1 + AE-= 1+ 1 = 4. BE 3 3

Таким образом,

EO = 3⋅AD = 3 ⋅44= 33. 4 4

Тогда

EF = EO + OF = 33+ 6= 39.

Ответ: 39

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#27827Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD,$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF,$ если $AD = 35,$ $BC = 21,$ $CF :DF = 5:2.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 21

Показать ответ и решение

По теореме Фалеса для параллельных секущих $BC,$ $EF$ и $AD$ и прямых $AB$ и $DC :$

BE- -CF 5 AE = DF = 2.

Проведем диагональ $BD$ трапеции $ABCD.$ Пусть отрезок $EF$ пересекает $BD$ в точке $O.$

Рассмотрим треугольники $BCD$ и $OF D.$ В них $∠BCD = ∠OF D$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $OF$ и секущей $CD,$ а $∠BDC$ — общий. Значит, треугольники $BCD$ и $OF D$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

BC CD DF + CF OF-= DF- = --DF----= CF 5 7 =1 + DF-= 1+ 2 = 2.

Таким образом,

OF = 2 ⋅BC = 2⋅21= 6. 7 7

$ABCDEOF52523262aabb515$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $EBO.$ В них $∠BAD = ∠BEO$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $EO$ и секущей $AB,$ а $∠ABD$ — общий. Значит, треугольники $ABD$ и $EBO$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

AD-= AB- = BE-+-AE-= EO BE BE =1 + AE-= 1+ 2 = 7. BE 5 5

Таким образом,

EO = 5⋅AD = 5 ⋅35= 25. 7 7

Тогда

EF = EO + OF = 25+ 6= 31.

Ответ: 31

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#40304Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD,$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF,$ если $AD = 48,$ $BC = 16,$ $CF :DF = 5:3.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 22

Показать ответ и решение

По теореме Фалеса для параллельных секущих $BC,$ $EF$ и $AD$ и прямых $AB$ и $DC :$

BE- -CF 5 AE = DF = 3.

Проведем диагональ $BD$ трапеции $ABCD.$ Пусть отрезок $EF$ пересекает $BD$ в точке $O.$

Рассмотрим треугольники $BCD$ и $OF D.$ В них $∠BCD = ∠OF D$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $OF$ и секущей $CD,$ а $∠BDC$ — общий. Значит, треугольники $BCD$ и $OF D$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

BC CD DF + CF OF-= DF- = --DF----= CF 5 8 =1 + DF-= 1+ 3 = 3.

Таким образом,

OF = 3 ⋅BC = 3⋅16= 6. 8 8

$ABCDEOF53534163aabb860$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $EBO.$ В них $∠BAD = ∠BEO$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $EO$ и секущей $AB,$ а $∠ABD$ — общий. Значит, треугольники $ABD$ и $EBO$ подобны по двум углам. Запишем отношение их подобия:

AD-= AB- = BE-+-AE-= EO BE BE =1 + AE-= 1+ 3 = 8. BE 5 5

Таким образом,

EO = 5⋅AD = 5 ⋅48= 30. 8 8

Тогда

EF = EO + OF = 30+ 6= 36.

Ответ: 36

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2