14 №23. Тип 14 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#26589Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD,$ если $AB =24,$ а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 16 и 12.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности. Проведём $OH ⊥ AB$ и $OM ⊥ CD.$ По условию $OH = 16$ и $OM = 12.$ Также проведём радиусы $OA,$ $OB,$ $OC$ и $OD.$

$OABCDHM11112226$

Рассмотрим треугольник $AOB.$ В нём $OA = OB$ как радиусы окружности, поэтому $△ AOB$ — равнобедренный. $OH$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

AH = HB = AB-= 24 =12. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHO.$ По теореме Пифагора

2 2 2 2 2 OA = AH +OH = 12 + 16 = = 42⋅32+ 42 ⋅42 = 42 ⋅(32+ 42)= 42⋅52

Тогда

OB = OC = OD = OA = 4⋅5= 20.

Рассмотрим треугольник $COD.$ В нём $OC = OD$ как радиусы окружности, поэтому $△ COD$ — равнобедренный. $OM$ — его высота, а значит и медиана. Тогда $CD = 2CM.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $COM.$ По теореме Пифагора

2 2 2 OC = CM + OM .

Значит,

2 2 2 2 2 CM = OC − OM = 20 − 12 = = 42⋅52− 42 ⋅32 = 42 ⋅(52− 32)= 42⋅42

Тогда

CM = 4⋅4 = 16.

Следовательно,

CD = 2CM = 2⋅16= 32.

Ответ: 32

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95712Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD,$ если $AB =10,$ а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 12 и 5.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности. Проведём $OH ⊥ AB$ и $OM ⊥ CD.$ По условию $OH = 12$ и $OM = 5.$ Также проведём радиусы $OA,$ $OB,$ $OC$ и $OD.$

$OABCDHM55512$

Рассмотрим треугольник $AOB.$ В нём $OA = OB$ как радиусы окружности, поэтому $△ AOB$ — равнобедренный. $OH$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

AH =HB = AB-= 10-= 5. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHO.$ По теореме Пифагора

OA2 = AH2 + OH2 = 52+ 122 =25 +144= 169.

Тогда

√ --- OB = OC = OD = OA = 169 = 13.

Рассмотрим треугольник $COD.$ В нём $OC = OD$ как радиусы окружности, поэтому $△ COD$ — равнобедренный. $OM$ — его высота, а значит и медиана. Тогда $CD = 2CM.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $COM.$ По теореме Пифагора

2 2 2 OC = CM + OM .

Значит,

2 2 2 2 2 CM = OC − OM = 13 − 5 = 169− 25 = 144.

Тогда

CM = √144= 12.

Следовательно,

CD = 2CM = 2⋅12= 24.

Ответ: 24

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95714Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD,$ если $AB =12,$ а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 8 и 6.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности. Проведём $OH ⊥ AB$ и $OM ⊥ CD.$ По условию $OH = 8$ и $OM =6.$ Также проведём радиусы $OA,$ $OB,$ $OC$ и $OD.$

$OABCDHM6668$

Рассмотрим треугольник $AOB.$ В нём $OA = OB$ как радиусы окружности, поэтому $△ AOB$ — равнобедренный. $OH$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

AH =HB = AB-= 12-= 6. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHO.$ По теореме Пифагора

2 2 2 2 2 OA =AH +OH =6 + 8 = = 22⋅32+ 22 ⋅42 = 22 ⋅(32+ 42)= 22⋅52

Тогда

OB = OC = OD = OA = 2⋅5= 10.

Рассмотрим треугольник $COD.$ В нём $OC = OD$ как радиусы окружности, поэтому $△ COD$ — равнобедренный. $OM$ — его высота, а значит и медиана. Тогда $CD = 2CM.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $COM.$ По теореме Пифагора

2 2 2 OC = CM + OM .

Значит,

2 2 2 2 2 CM = OC − OM = 10 − 6 = = 22⋅52− 22 ⋅32 = 22 ⋅(52− 32)= 22⋅42

Тогда

CM = 2⋅4= 8.

Следовательно,

CD = 2CM = 2⋅8 = 16.

Ответ: 16

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95713Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD,$ если $AB =16,$ а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 15 и 8.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 9

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности. Проведём $OH ⊥ AB$ и $OM ⊥ CD.$ По условию $OH = 15$ и $OM = 8.$ Также проведём радиусы $OA,$ $OB,$ $OC$ и $OD.$

$OABCDHM88815$

Рассмотрим треугольник $AOB.$ В нём $OA = OB$ как радиусы окружности, поэтому $△ AOB$ — равнобедренный. $OH$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

AH =HB = AB-= 16-= 8. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHO.$ По теореме Пифагора

OA2 = AH2 + OH2 = 82+ 152 =64 +225= 289.

Тогда

√ --- OB = OC = OD = OA = 289 = 17.

Рассмотрим треугольник $COD.$ В нём $OC = OD$ как радиусы окружности, поэтому $△ COD$ — равнобедренный. $OM$ — его высота, а значит и медиана. Тогда $CD = 2CM.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $COM.$ По теореме Пифагора

2 2 2 OC = CM + OM .

Значит,

2 2 2 2 2 CM = OC − OM = 17 − 8 = 289− 64 = 225.

Тогда

CM = √225= 15.

Следовательно,

CD = 2CM = 2⋅15= 30.

Ответ: 30

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#57411Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD,$ если $AB =18,$ а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 12 и 9.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 10

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности. Проведём $OH ⊥ AB$ и $OM ⊥ CD.$ По условию $OH = 12$ и $OM = 9.$ Также проведём радиусы $OA,$ $OB,$ $OC$ и $OD.$

$OABCDHM99912$

Рассмотрим треугольник $AOB.$ В нём $OA = OB$ как радиусы окружности, поэтому $△ AOB$ — равнобедренный. $OH$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

AH =HB = AB-= 18-= 9. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHO.$ По теореме Пифагора

2 2 2 2 2 OA = AH + OH (= 9 +)12 = =32 ⋅32+ 32⋅42 = 32⋅ 32+ 42 = 32⋅52.

Тогда

OB = OC = OD = OA = 3⋅5= 15.

Рассмотрим треугольник $COD.$ В нём $OC = OD$ как радиусы окружности, поэтому $△ COD$ — равнобедренный. $OM$ — его высота, а значит и медиана. Тогда $CD = 2CM.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $COM.$ По теореме Пифагора

2 2 2 OC = CM + OM .

Значит,

2 2 2 2 2 CM = OC − OM (= 15 −) 9 = =32 ⋅52− 32⋅32 = 32⋅ 52− 32 = 32⋅42.

Тогда

CM = 3⋅4 = 12.

Следовательно,

CD = 2CM = 2⋅12= 24.

Ответ: 24

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2