19 №23. Тип 19 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#95732Максимум баллов за задание: 2

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C.$ Найдите длину отрезка $KP,$ если $AP = 30,$ а сторона $BC$ в 1,2 раза меньше стороны $AB.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как четырёхугольник $KBCP$ вписан в окружность, то

∘ ∠KP C + ∠KBC = 180 .

Тогда

∘ ∠KBC =180 − ∠KP C.

$∠KP C$ и $∠KP A$ смежные, поэтому

∠KP C + ∠KP A = 180∘,

следовательно,

∘ ∠KP A= 180 − ∠KP C = ∠KBC.

Рассмотрим треугольники $AP K$ и $ABC.$ Так как $∠BAC$ — общий и $∠AP K = ∠ABC,$ то треугольники $APK$ и $ABC$ подобны по двум углам.

$ABCP3K0$

Запишем отношение подобия треугольников $AP K$ и $ABC :$

AP-= P-K, AB BC

следовательно,

AP- = AB- =1,2. P K BC

Значит,

AP 30 300 P K = 1,2 = 1,2 =-12 = 25.

Ответ: 25

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95733Максимум баллов за задание: 2

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C.$ Найдите длину отрезка $KP,$ если $AP = 21,$ а сторона $BC$ в 1,5 раза меньше стороны $AB.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как четырёхугольник $KBCP$ вписан в окружность, то

∘ ∠KP C + ∠KBC = 180 .

Тогда

∘ ∠KBC =180 − ∠KP C.

$∠KP C$ и $∠KP A$ смежные, поэтому

∠KP C + ∠KP A = 180∘,

следовательно,

∘ ∠KP A= 180 − ∠KP C = ∠KBC.

Рассмотрим треугольники $AP K$ и $ABC.$ Так как $∠BAC$ — общий и $∠AP K = ∠ABC,$ то треугольники $APK$ и $ABC$ подобны по двум углам.

$ABCP2K1$

Запишем отношение подобия треугольников $AP K$ и $ABC :$

AP-= P-K, AB BC

следовательно,

AP- = AB- =1,5. P K BC

Значит,

AP 21 210 P K = 1,5 = 1,5 =-15 = 14.

Ответ: 14

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95734Максимум баллов за задание: 2

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C.$ Найдите длину отрезка $KP,$ если $AP = 36,$ а сторона $BC$ в 1,8 раза меньше стороны $AB.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как четырёхугольник $KBCP$ вписан в окружность, то

∘ ∠KP C + ∠KBC = 180 .

Тогда

∘ ∠KBC =180 − ∠KP C.

$∠KP C$ и $∠KP A$ смежные, поэтому

∠KP C + ∠KP A = 180∘,

следовательно,

∘ ∠KP A= 180 − ∠KP C = ∠KBC.

Рассмотрим треугольники $AP K$ и $ABC.$ Так как $∠BAC$ — общий и $∠AP K = ∠ABC,$ то треугольники $APK$ и $ABC$ подобны по двум углам.

$ABCP3K6$

Запишем отношение подобия треугольников $AP K$ и $ABC :$

AP-= P-K, AB BC

следовательно,

AP- = AB- =1,8. P K BC

Значит,

AP 36 360 P K = 1,8 = 1,8 =-18 = 20.

Ответ: 20

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95735Максимум баллов за задание: 2

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C.$ Найдите длину отрезка $KP,$ если $AP = 9,$ а сторона $BC$ в 3 раза меньше стороны $AB.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как четырёхугольник $KBCP$ вписан в окружность, то

∘ ∠KP C + ∠KBC = 180 .

Тогда

∘ ∠KBC =180 − ∠KP C.

$∠KP C$ и $∠KP A$ смежные, поэтому

∠KP C + ∠KP A = 180∘,

следовательно,

∘ ∠KP A= 180 − ∠KP C = ∠KBC.

Рассмотрим треугольники $AP K$ и $ABC.$ Так как $∠BAC$ — общий и $∠AP K = ∠ABC,$ то треугольники $APK$ и $ABC$ подобны по двум углам.

$ABCP9K$

Запишем отношение подобия треугольников $AP K$ и $ABC :$

AP-= P-K, AB BC

следовательно,

AP- = AB-= 3. PK BC

Значит,

AP 9 P K = -3-= 3 = 3.

Ответ: 3

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#45684Максимум баллов за задание: 2

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C.$ Найдите длину отрезка $KP,$ если $AP = 34,$ а сторона $BC$ в 2 раза меньше стороны $AB.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 35

Показать ответ и решение

Так как четырёхугольник $KBCP$ вписан в окружность, то

∘ ∠KP C + ∠KBC = 180 .

Тогда

∘ ∠KBC =180 − ∠KP C.

$∠KP C$ и $∠KP A$ смежные, поэтому

∠KP C + ∠KP A = 180∘,

следовательно,

∘ ∠KP A= 180 − ∠KP C = ∠KBC.

Рассмотрим треугольники $AP K$ и $ABC.$ Так как $∠BAC$ — общий и $∠AP K = ∠ABC,$ то треугольники $APK$ и $ABC$ подобны по двум углам.

$ABCP3K4$

Запишем отношение подобия треугольников $AP K$ и $ABC :$

AP-= P-K, AB BC

следовательно,

AP- = AB-= 2. PK BC

Значит,

AP 34 P K = -2-= -2 = 17.

Ответ: 17

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2