21 №23. Тип 21 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#57414Максимум баллов за задание: 2

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B.$ Найдите диаметр окружности, если $AB =3,$ $AC = 5.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть окружность пересекает отрезок $AC$ второй раз в точке $D.$ По условию центр данной окружности лежит на $AC,$ поэтому он лежит на $CD.$

Таким образом, хорда $CD$ проходит через центр окружности, следовательно, является её диаметром. Значит, нам нужно найти $CD.$

Пусть $CD = x.$ Тогда

AD =AC − CD = 5− x.

$ABCD5−xx3$

Квадрат касательной $AB$ к окружности равен произведению секущей $AC$ на её внешнюю часть $AD,$ поэтому

2 AB = AC ⋅AD 32 =5 ⋅(5 − x) 9= 25− 5x 5x =16 x = 3,2

Таким образом, диаметр окружности равен 3,2.

Ответ: 3,2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95739Максимум баллов за задание: 2

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B.$ Найдите диаметр окружности, если $AB =1,$ $AC = 5.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть окружность пересекает отрезок $AC$ второй раз в точке $D.$ По условию центр данной окружности лежит на $AC,$ поэтому он лежит на $CD.$

Таким образом, хорда $CD$ проходит через центр окружности, следовательно, является её диаметром. Значит, нам нужно найти $CD.$

Пусть $CD = x.$ Тогда

AD =AC − CD = 5− x.

$ABCD5−xx1$

Квадрат касательной $AB$ к окружности равен произведению секущей $AC$ на её внешнюю часть $AD,$ поэтому

2 AB = AC ⋅AD 12 =5 ⋅(5 − x) 1= 25− 5x 5x =24 x = 4,8

Таким образом, диаметр окружности равен 4,8.

Ответ: 4,8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95740Максимум баллов за задание: 2

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B.$ Найдите диаметр окружности, если $AB =3,$ $AC = 9.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть окружность пересекает отрезок $AC$ второй раз в точке $D.$ По условию центр данной окружности лежит на $AC,$ поэтому он лежит на $CD.$

Таким образом, хорда $CD$ проходит через центр окружности, следовательно, является её диаметром. Значит, нам нужно найти $CD.$

Пусть $CD = x.$ Тогда

AD =AC − CD = 9− x.

$ABCD9−xx3$

Квадрат касательной $AB$ к окружности равен произведению секущей $AC$ на её внешнюю часть $AD,$ поэтому

2 AB = AC ⋅AD 32 =9 ⋅(9 − x) 9= 81− 9x 9x =72 x =8

Таким образом, диаметр окружности равен 8.

Ответ: 8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95741Максимум баллов за задание: 2

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B.$ Найдите диаметр окружности, если $AB =9,$ $AC = 12.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть окружность пересекает отрезок $AC$ второй раз в точке $D.$ По условию центр данной окружности лежит на $AC,$ поэтому он лежит на $CD.$

Таким образом, хорда $CD$ проходит через центр окружности, следовательно, является её диаметром. Значит, нам нужно найти $CD.$

Пусть $CD = x.$ Тогда

AD = AC − CD = 12− x.

$ABCD12−xx9$

Квадрат касательной $AB$ к окружности равен произведению секущей $AC$ на её внешнюю часть $AD,$ поэтому

2 AB = AC ⋅AD 92 = 12 ⋅(12− x) 81 =144− 12x 12x = 63 4x =21 x= 5,25

Таким образом, диаметр окружности равен 5,25.

Ответ: 5,25

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#83029Максимум баллов за задание: 2

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B.$ Найдите диаметр окружности, если $AB =2,AC = 8.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 12

Показать ответ и решение

Пусть окружность пересекает отрезок $AC$ второй раз в точке $D.$ По условию центр данной окружности лежит на $AC,$ поэтому он лежит на $CD.$

Таким образом, хорда $CD$ проходит через центр окружности, следовательно, является её диаметром. Значит, нам нужно найти $CD.$

Пусть $CD = x.$ Тогда

AD =AC − CD = 8− x.

$ABCD8−xx2$

Квадрат касательной $AB$ к окружности равен произведению секущей $AC$ на её внешнюю часть $AD,$ поэтому

2 AB = AC ⋅AD 22 =8 ⋅(8 − x) 4= 64− 8x 8x =60 x = 7,5

Таким образом, диаметр окружности равен 7,5.

Ответ: 7,5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2