01 №25. Тип 1 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73660Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24. Найдите стороны треугольника $ABC.$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 11

Показать ответ и решение

Способ 1.

Обозначим точку пересечения $BE$ и $AD$ за $O.$ Рассмотрим треугольник $ABD :$

1.: $∠BOD = ∠BOA = 90∘,$ так как $BE ⊥ AD$ по условию, следовательно, $BO$ — высота в треугольнике $ABD.$
2.: $∠ABO =∠DBO,$ так как $BE$ — биссектриса $∠ABC.$

$ABCDEFO6√6√6181212513-$

Тогда в треугольнике $ABD$ отрезок $BO$ — биссектриса и высота, следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника $BO$ — медиана треугольника $ABD.$ Тогда

AO = OD = 1AD = 1 ⋅24= 12. 2 2

В равнобедренном треугольнике $ABD$ с основанием $AD$ боковые стороны равны. Тогда

AB = BD = 1BC, 2

так как $AD$ — медиана треугольника $ABC.$ $BE$ — биссектриса в $△ ABC.$ По свойству биссектрисы треугольника

AE AB 1 EC- = BC-= 2 ⇒ EC = 2AE.

Тогда

AE- = --AE----= -AE- = 1. AC AE + EC 3AE 3

Продлим медиану $AD$ на её длину. Пусть точка $F$ — полученная точка. Тогда $AD =DF,$ $BD = DC.$ Четырёхугольник $ABF C$ — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, $BF ∥AC.$ Следовательно, $∠F AC = ∠BF A$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AC$ и $F B$ и секущей $AF.$ $BE ⊥AD,$ поэтому $∠BOF = ∠AOE = 90∘.$ Тогда $△ AOE ∼ △F OB$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

OE-= AE-. BO BF

Так как $AC = BF$ по свойству параллелограмма, то

AE- AE- 1 BF = AC = 3.

Значит,

OE- = 1 ⇒ BO = 3OE. BO 3

Тогда

OE OE OE OE 1 EB-= OE-+-OB- = OE-+-3OE-= 4OE- = 4 1 1 OE = 4BE = 4 ⋅24= 6

Следовательно,

BO = BE − OE = 24− 6= 18.

Рассмотрим треугольник $BOA.$ $∘ ∠BOA = 90.$ Следовательно, $△ BOA$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AB2 = AO2 + OB2,

значит,

∘---------- ∘ -------- AB = AO2 + BO2 = 122 +182 = = √144+-324= √468-= 6√13.

Рассмотрим треугольник $AOE.$ В нём $∠AOE = 90∘.$ Следовательно, $△ AOE$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AE2 = AO2 + OE2,

значит,

∘ ---------- ∘ ------- AE = AO2 +OE2 = 122+ 62 = √------- √ --- √- = 144+ 36= 180 = 6 5.

Найдём стороны треугольника $ABC :$

$pict$

Способ 2.

Рассмотрим треугольник $ABD.$ В нем $BO$ — биссектриса и $BO ⊥ AD,$ следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный с основанием $AD,$ то есть $AB = BD.$

Так как $△ ABD$ — равнобедренный и $BO$ — биссектриса, проведённая к основанию, то $BO$ также является медианой. То есть $AO = OD.$

Поэтому

AD = AO +OD = 2AO = 24, AO = 12= OD.

$BE$ — биссектриса в треугольнике $ABC.$ По свойству биссектрис

AE-= AB-= ---AB--- = AB--= AB--= 1. EC BC BD + DC 2DB 2AB 2

Пусть $EA =x,$ тогда $CE = 2x.$

$ABCDEOx211x22$

По теореме Менелая для $△ CBE$ и его секущей $AD :$

CD-⋅ BO ⋅ EA-= 1 DB OE AC 1 BO- ---EA--- 1 ⋅OE ⋅CE + EA = 1 1 BO x 1 ⋅OE-⋅3x = 1 1 BO 1 1 ⋅OE ⋅3 = 1 BO- = 3 OE BO = 3OE

$BE = BO + OE,$ следовательно,

BE = 4OE OE = BE- = 24 =6 4 4 BO = 3OE = 18

$√√ -- ABCDEO661212618 513$

$BO ⊥ AO$ в треугольнике $ABO$ , поэтому треугольник $ABO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 AB = AO + BO ,

значит,

∘---------- ∘ -------- AB = AO2 + BO2 = 122 +182 = = √144+-324= √468-= 6√13.

Следовательно,

√-- BC = BD + DC = 2BD = 2AB = 12 13.

$AO ⊥ EO$ в треугольнике $AEO$ , поэтому треугольник $AEO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 EA = AO + EO ,

значит,

∘ ---------- ∘ ------- EA = AO2 +EO2 = 122+ 62 = = √144+-36= √180-= 6√5.

Таким образом, $√- x = EA = 6 5.$ Тогда

√- AC = CE + EA = 2x + x= 3x= 18 5.

Ответ:

$√ -- 6 13;$ $√ -- 12 13;$ $√- 18 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#40949Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника $ABC.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Обозначим точку пересечения $BE$ и $AD$ за $O.$ Рассмотрим треугольник $ABD :$

1.: $∠BOD = ∠BOA = 90∘,$ так как $BE ⊥ AD$ по условию, следовательно, $BO$ — высота в треугольнике $ABD.$
2.: $∠ABO =∠DBO,$ так как $BE$ — биссектриса $∠ABC.$

$ABCDEFO3√3√3966513-$

Тогда в треугольнике $ABD$ отрезок $BO$ — биссектриса и высота, следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника $BO$ — медиана треугольника $ABD.$ Тогда

AO = OD = 1AD = 1⋅12= 6. 2 2

В равнобедренном треугольнике $ABD$ с основанием $AD$ боковые стороны равны. Тогда

AB = BD = 1BC, 2

так как $AD$ — медиана треугольника $ABC.$ $BE$ — биссектриса в $△ ABC.$ По свойству биссектрисы треугольника

AE AB 1 EC- = BC-= 2 ⇒ EC = 2AE.

Тогда

AE- = --AE----= -AE- = 1. AC AE + EC 3AE 3

Продлим медиану $AD$ на её длину. Пусть точка $F$ — полученная точка. Тогда $AD =DF,$ $BD = DC.$ Четырёхугольник $ABF C$ — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, $BF ∥AC.$ Следовательно, $∠F AC = ∠BF A$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AC$ и $F B$ и секущей $AF.$ $BE ⊥AD,$ поэтому $∠BOF = ∠AOE = 90∘.$ Тогда $△ AOE ∼ △F OB$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

OE-= AE-. BO BF

Так как $AC = BF$ по свойству параллелограмма, то

AE- AE- 1 BF = AC = 3.

Значит,

OE- = 1 ⇒ BO = 3OE. BO 3

Тогда

OE OE OE OE 1 EB-= OE-+-OB- = OE-+-3OE-= 4OE- = 4 1 1 OE = 4BE = 4 ⋅12= 3

Следовательно,

BO =BE − OE = 12 − 3 = 9.

Рассмотрим треугольник $BOA.$ $∘ ∠BOA = 90.$ Следовательно, $△ BOA$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AB2 = AO2 + OB2,

значит,

∘ ---------- ∘ ------ AB = AO2 + BO2 = 62 +92 = = √36+-81= √117-= 3√13.

Рассмотрим треугольник $AOE.$ В нём $∠AOE = 90∘.$ Следовательно, $△ AOE$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AE2 = AO2 + OE2,

значит,

∘ ---------- ∘ ------ AE = AO2 + OE2 = 62 +32 = √ ----- √-- √ - = 36 + 9= 45= 3 5.

Найдём стороны треугольника $ABC :$

$pict$

Способ 2.

Рассмотрим треугольник $ABD.$ В нем $BO$ — биссектриса и $BO ⊥ AD,$ следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный с основанием $AD,$ то есть $AB = BD.$

Так как $△ ABD$ — равнобедренный и $BO$ — биссектриса, проведённая к основанию, то $BO$ также является медианой. То есть $AO = OD.$

Поэтому

AD = AO + OD = 2AO = 12 AO = 6= OD

$BE$ — биссектриса в треугольнике $ABC.$ По свойству биссектрис

AE-= AB-= ---AB--- = AB--= AB--= 1. EC BC BD + DC 2DB 2AB 2

Пусть $EA =x,$ тогда $CE = 2x.$

$ABCDEOx266x$

По теореме Менелая для $△ CBE$ и его секущей $AD :$

CD-⋅ BO ⋅ EA-= 1 DB OE AC 1 BO- ---EA--- 1 ⋅OE ⋅CE + EA = 1 1 BO x 1 ⋅OE-⋅3x = 1 1 BO 1 1 ⋅OE ⋅3 = 1 BO- = 3 OE BO = 3OE

$BE = BO + OE,$ следовательно,

BE = 4OE OE = BE- = 12 =3 4 4 BO = 3OE = 9

$√√ -- ABCDEO336639 513$

$BO ⊥ AO$ в треугольнике $ABO$ , поэтому треугольник $ABO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 AB = AO + BO ,

значит,

∘ ---------- ∘ ------ AB = AO2 + BO2 = 62 +92 = = √36+-81= √117-= 3√13.

Следовательно,

√-- BC = BD +DC = 2BD = 2AB = 6 13.

$AO ⊥ EO$ в треугольнике $AEO$ , поэтому треугольник $AEO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 EA = AO + EO ,

значит,

∘ ---------- ∘ ------ EA = AO2 + EO2 = 62 +32 = = √36-+-9= √45= 3√5.

Таким образом, $√- x = EA = 3 5.$ Тогда

√- AC = CE + EA = 2x+ x =3x = 9 5.

Ответ:

$√ -- √-- √ - 3 13; 6 13; 9 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#56381Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8. Найдите стороны треугольника $ABC.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Обозначим точку пересечения $BE$ и $AD$ за $O.$ Рассмотрим треугольник $ABD :$

1.: $∠BOD = ∠BOA = 90∘,$ так как $BE ⊥ AD$ по условию, следовательно, $BO$ — высота в треугольнике $ABD.$
2.: $∠ABO =∠DBO,$ так как $BE$ — биссектриса $∠ABC.$

$ABCDEFO2√2√2644513-$

Тогда в треугольнике $ABD$ отрезок $BO$ — биссектриса и высота, следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника $BO$ — медиана треугольника $ABD.$ Тогда

AO = OD = 1AD = 1 ⋅8= 4. 2 2

В равнобедренном треугольнике $ABD$ с основанием $AD$ боковые стороны равны. Тогда

AB = BD = 1BC, 2

так как $AD$ — медиана треугольника $ABC.$ $BE$ — биссектриса в $△ ABC.$ По свойству биссектрисы треугольника

AE AB 1 EC- = BC-= 2 ⇒ EC = 2AE.

Тогда

AE- = --AE----= -AE- = 1. AC AE + EC 3AE 3

Продлим медиану $AD$ на её длину. Пусть точка $F$ — полученная точка. Тогда $AD =DF,$ $BD = DC.$ Четырёхугольник $ABF C$ — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, $BF ∥AC.$ Следовательно, $∠F AC = ∠BF A$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AC$ и $F B$ и секущей $AF.$ $BE ⊥AD,$ поэтому $∠BOF = ∠AOE = 90∘.$ Тогда $△ AOE ∼ △F OB$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

OE-= AE-. BO BF

Так как $AC = BF$ по свойству параллелограмма, то

AE- AE- 1 BF = AC = 3.

Значит,

OE- = 1 ⇒ BO = 3OE. BO 3

Тогда

OE OE OE OE 1 EB-= OE-+-OB- = OE-+-3OE-= 4OE- = 4 1 1 OE = 4BE = 4 ⋅8 =2

Следовательно,

BO = BE − OE = 8− 2= 6.

Рассмотрим треугольник $BOA.$ $∘ ∠BOA = 90.$ Следовательно, $△ BOA$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AB2 = AO2 + OB2,

значит,

∘ ---------- ∘ ------ AB = AO2 + BO2 = 42 +62 = = √16-+-36= √52= 2√13.

Рассмотрим треугольник $AOE.$ В нём $∠AOE = 90∘.$ Следовательно, $△ AOE$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AE2 = AO2 + OE2,

значит,

∘ ---------- ∘ ------ AE = AO2 + OE2 = 42 +22 = √ ----- √-- √ - = 16 + 4= 20= 2 5.

Найдём стороны треугольника $ABC :$

$pict$

Способ 2.

Рассмотрим треугольник $ABD.$ В нем $BO$ — биссектриса и $BO ⊥ AD,$ следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный с основанием $AD,$ то есть $AB = BD.$

Так как $△ ABD$ — равнобедренный и $BO$ — биссектриса, проведённая к основанию, то $BO$ также является медианой. То есть $AO = OD.$

Поэтому

AD = AO + OD =2AO = 8 AO = 4= OD

$BE$ — биссектриса в треугольнике $ABC.$ По свойству биссектрис

AE-= AB-= ---AB--- = AB--= AB--= 1. EC BC BD + DC 2DB 2AB 2

Пусть $EA =x,$ тогда $CE = 2x.$

$ABCDEOx244x$

По теореме Менелая для $△ CBE$ и его секущей $AD :$

CD-⋅ BO ⋅ EA-= 1 DB OE AC 1 BO- ---EA--- 1 ⋅OE ⋅CE + EA = 1 1 BO x 1 ⋅OE-⋅3x = 1 1 BO 1 1 ⋅OE ⋅3 = 1 BO- = 3 OE BO = 3OE

$BE = BO + OE,$ следовательно,

BE = 4OE OE = BE-= 8 = 2 4 4 BO = 3OE = 6

$√√ -- ABCDEO224426 513$

$BO ⊥ AO$ в треугольнике $ABO$ , поэтому треугольник $ABO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 AB = AO + BO ,

значит,

∘ ---------- ∘ ------ AB = AO2 + BO2 = 42 +62 = = √16-+-36= √52= 2√13.

Следовательно,

√-- BC = BD +DC = 2BD = 2AB = 4 13.

$AO ⊥ EO$ в треугольнике $AEO$ , поэтому треугольник $AEO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 EA = AO + EO ,

значит,

∘ ---------- ∘ ------ EA = AO2 + EO2 = 42 +22 = = √16-+-4= √20= 2√5.

Таким образом, $√- x = EA = 2 5.$ Тогда

√- AC = CE + EA = 2x+ x =3x = 6 5.

Ответ:

$√ -- √-- √ - 2 13; 4 13; 6 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#102194Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 40. Найдите стороны треугольника $ABC.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Обозначим точку пересечения $BE$ и $AD$ за $O.$ Рассмотрим треугольник $ABD :$

1.: $∠BOD = ∠BOA = 90∘,$ так как $BE ⊥ AD$ по условию, следовательно, $BO$ — высота в треугольнике $ABD.$
2.: $∠ABO =∠DBO,$ так как $BE$ — биссектриса $∠ABC.$

$ABCDEFO111322000000√√513$

Тогда в треугольнике $ABD$ отрезок $BO$ — биссектриса и высота, следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника $BO$ — медиана треугольника $ABD.$ Тогда

AO = OD = 1AD = 1 ⋅40= 20. 2 2

В равнобедренном треугольнике $ABD$ с основанием $AD$ боковые стороны равны. Тогда

AB = BD = 1BC, 2

так как $AD$ — медиана треугольника $ABC.$ $BE$ — биссектриса в $△ ABC.$ По свойству биссектрисы треугольника

AE AB 1 EC- = BC-= 2 ⇒ EC = 2AE.

Тогда

AE- = --AE----= -AE- = 1. AC AE + EC 3AE 3

Продлим медиану $AD$ на её длину. Пусть точка $F$ — полученная точка. Тогда $AD =DF,$ $BD = DC.$ Четырёхугольник $ABF C$ — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, $BF ∥AC.$ Следовательно, $∠F AC = ∠BF A$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AC$ и $F B$ и секущей $AF.$ $BE ⊥ AD,$ поэтому

∠BOF = ∠AOE = 90∘.

Тогда $△ AOE ∼ △F OB$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

OE AE BO-= BF-.

Так как $AC = BF$ по свойству параллелограмма, то

AE- AE- 1 BF = AC = 3.

Значит,

OE- = 1 ⇒ BO = 3OE. BO 3

Тогда

OE-= ---OE--- = ---OE----= -OE- = 1 EB OE + OB OE + 3OE 4OE 4 OE = 1 BE = 1⋅40 =10 4 4

Следовательно,

BO = BE − OE = 40− 10= 30

Рассмотрим треугольник $BOA.$ $∠BOA = 90∘.$ Следовательно, $△ BOA$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 AB = AO + OB ,

значит,

∘---2-----2 ∘ -2----2- AB =√ -AO--+-BO√ =---20 +√30-= = 400 +900= 1300 = 10 13.

Рассмотрим треугольник $AOE.$ В нём $∘ ∠AOE = 90 .$ Следовательно, $△ AOE$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AE2 = AO2 + OE2,

значит,

∘---------- ∘ -------- AE = AO2 + OE2 = 202 +102 = √-------- √ --- √ - = 400+ 100= 500 = 10 5.

Найдём стороны треугольника $ABC :$

$pict$

Способ 2.

Рассмотрим треугольник $ABD.$ В нем $BO$ — биссектриса и $BO ⊥ AD,$ следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный с основанием $AD,$ то есть $AB = BD.$

Так как $△ ABD$ — равнобедренный и $BO$ — биссектриса, проведённая к основанию, то $BO$ также является медианой. То есть $AO = OD.$

Поэтому

AD = AO + OD = 2AO = 40 AO = 20= OD

$BE$ — биссектриса в треугольнике $ABC.$ По свойству биссектрисы

AE-= AB-= ---AB--- = AB--= AB--= 1. EC BC BD + DC 2DB 2AB 2

Пусть $EA =x,$ тогда $CE = 2x.$

$ABCDEOx222x00$

По теореме Менелая для $△ CBE$ и его секущей $AD :$

CD-⋅ BO ⋅ EA-= 1 DB OE AC 1 BO- ---EA--- 1 ⋅OE ⋅CE + EA = 1 1 BO x 1 ⋅OE-⋅3x = 1 1 BO 1 1 ⋅OE ⋅3 = 1 BO- = 3 OE BO = 3OE

$BE = BO + OE,$ следовательно,

BE = 4OE OE = BE- = 40-= 10 4 4 BO = 3OE = 30

$√√-- ABCDEO112213000000 513$

$BO ⊥ AO$ в треугольнике $ABO$ , поэтому треугольник $ABO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 AB = AO + BO ,

значит,

∘---------- ∘ -------- AB = AO2 + BO2 = 202 +302 = = √400-+900= √1300-= 10√13.

Следовательно,

√-- BC = BD + DC = 2BD = 2AB = 20 13.

$AO ⊥ EO$ в треугольнике $AEO$ , поэтому треугольник $AEO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 EA = AO + EO ,

значит,

∘---------- ∘ -------- EA = AO2 + EO2 = 202 +102 = = √400+-100= √500-= 10√5.

Таким образом, $√ - x = EA = 10 5.$ Тогда

√- AC = CE + EA = 2x + x= 3x= 30 5.

Ответ:

$√-- √ -- √- 10 13; 20 13; 30 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105137Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 32. Найдите стороны треугольника $ABC.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Обозначим точку пересечения $BE$ и $AD$ за $O.$ Рассмотрим треугольник $ABD :$

1.: $∠BOD = ∠BOA = 90∘,$ так как $BE ⊥ AD$ по условию, следовательно, $BO$ — высота в треугольнике $ABD.$
2.: $∠ABO =∠DBO,$ так как $BE$ — биссектриса $∠ABC.$

$ABCDEFO8√8√8241616513-$

Тогда в треугольнике $ABD$ отрезок $BO$ — биссектриса и высота, следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника $BO$ — медиана треугольника $ABD.$ Тогда

AO = OD = 1AD = 1 ⋅32= 16. 2 2

В равнобедренном треугольнике $ABD$ с основанием $AD$ боковые стороны равны. Тогда

AB = BD = 1BC, 2

так как $AD$ — медиана треугольника $ABC.$ $BE$ — биссектриса в $△ ABC.$ По свойству биссектрисы треугольника

AE AB 1 EC- = BC-= 2 ⇒ EC = 2AE.

Тогда

AE- = --AE----= -AE- = 1. AC AE + EC 3AE 3

Продлим медиану $AD$ на её длину. Пусть точка $F$ — полученная точка. Тогда $AD =DF,$ $BD = DC.$ Четырёхугольник $ABF C$ — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, $BF ∥AC.$ Следовательно, $∠F AC = ∠BF A$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AC$ и $F B$ и секущей $AF.$ $BE ⊥AD,$ поэтому $∠BOF = ∠AOE = 90∘.$ Тогда $△ AOE ∼ △F OB$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

OE-= AE-. BO BF

Так как $AC = BF$ по свойству параллелограмма, то

AE- AE- 1 BF = AC = 3.

Значит,

OE- = 1 ⇒ BO = 3OE. BO 3

Тогда

OE OE OE OE 1 EB-= OE-+-OB- = OE-+-3OE-= 4OE- = 4 1 1 OE = 4BE = 4 ⋅32= 8

Следовательно,

BO = BE − OE = 32− 8= 24.

Рассмотрим треугольник $BOA.$ $∘ ∠BOA = 90.$ Следовательно, $△ BOA$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AB2 = AO2 + OB2,

значит,

∘---------- ∘ -------- AB = AO2 + BO2 = 162 +242 = = √256+-576= √832-= 8√13.

Рассмотрим треугольник $AOE.$ В нём $∠AOE = 90∘.$ Следовательно, $△ AOE$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AE2 = AO2 + OE2,

значит,

∘ ---------- ∘ ------- AE = AO2 +OE2 = 162+ 82 = √------- √ --- √- = 256+ 64= 320 = 8 5.

Найдём стороны треугольника $ABC :$

$pict$

Способ 2.

Рассмотрим треугольник $ABD.$ В нем $BO$ — биссектриса и $BO ⊥ AD,$ следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный с основанием $AD,$ то есть $AB = BD.$

Так как $△ ABD$ — равнобедренный и $BO$ — биссектриса, проведённая к основанию, то $BO$ также является медианой. То есть $AO = OD.$

Поэтому

AD = AO + OD = 2AO = 32 AO = 16= OD

$BE$ — биссектриса в треугольнике $ABC.$ По свойству биссектрис

AE-= AB-= ---AB--- = AB--= AB--= 1. EC BC BD + DC 2DB 2AB 2

Пусть $EA =x,$ тогда $CE = 2x.$

$ABCDEOx211x66$

По теореме Менелая для $△ CBE$ и его секущей $AD :$

CD BO EA DB-⋅OE- ⋅AC-= 1 1 ⋅ BO-⋅--EA--- = 1 1 OE CE + EA 1 ⋅ BO-⋅-x = 1 1 OE 3x 1⋅ BO ⋅ 1= 1 1 OE 3 BO- OE = 3 BO = 3OE

$BE = BO + OE,$ следовательно,

BE = 4OE OE = BE- = 32 =8 4 4 BO = 3OE = 24

$√√ -- ABCDEO881616824 513$

$BO ⊥ AO$ в треугольнике $ABO$ , поэтому треугольник $ABO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AB2 = AO2 + BO2,

значит,

AB = ∘AO2-+-BO2-= ∘162-+242 = -------- √ --- √-- = √256+ 576= 832 = 8 13.

Следовательно,

√-- BC = BD + DC = 2BD = 2AB = 16 13.

$AO ⊥ EO$ в треугольнике $AEO$ , поэтому треугольник $AEO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

EA2 = AO2 + EO2,

значит,

EA = ∘AO2--+EO2--=∘162-+-82 = √------- √ --- √- = 256+ 64= 320 = 8 5.

Таким образом, $√- x = EA = 8 5.$ Тогда

√- AC = CE + EA = 2x + x= 3x= 24 5.

Ответ:

$√ -- √ -- √- 8 13; 16 13; 24 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105138Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 20. Найдите стороны треугольника $ABC.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Обозначим точку пересечения $BE$ и $AD$ за $O.$ Рассмотрим треугольник $ABD :$

1.: $∠BOD = ∠BOA = 90∘,$ так как $BE ⊥ AD$ по условию, следовательно, $BO$ — высота в треугольнике $ABD.$
2.: $∠ABO =∠DBO,$ так как $BE$ — биссектриса $∠ABC.$

$ABCDEFO5√5√5151010513-$

Тогда в треугольнике $ABD$ отрезок $BO$ — биссектриса и высота, следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника $BO$ — медиана треугольника $ABD.$ Тогда

AO = OD = 1AD = 1 ⋅20= 10. 2 2

В равнобедренном треугольнике $ABD$ с основанием $AD$ боковые стороны равны. Тогда

AB = BD = 1BC, 2

так как $AD$ — медиана треугольника $ABC.$ $BE$ — биссектриса в $△ ABC.$ По свойству биссектрисы треугольника

AE AB 1 EC- = BC-= 2 ⇒ EC = 2AE.

Тогда

AE- = --AE----= -AE- = 1. AC AE + EC 3AE 3

Продлим медиану $AD$ на её длину. Пусть точка $F$ — полученная точка. Тогда $AD =DF,$ $BD = DC.$ Четырёхугольник $ABF C$ — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, $BF ∥AC.$ Следовательно, $∠F AC = ∠BF A$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AC$ и $F B$ и секущей $AF.$ $BE ⊥AD,$ поэтому $∠BOF = ∠AOE = 90∘.$ Тогда $△ AOE ∼ △F OB$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

OE-= AE-. BO BF

Так как $AC = BF$ по свойству параллелограмма, то

AE- AE- 1 BF = AC = 3.

Значит,

OE- = 1 ⇒ BO = 3OE. BO 3

Тогда

OE OE OE OE 1 EB-= OE-+-OB- = OE-+-3OE-= 4OE- = 4 1 1 OE = 4BE = 4 ⋅20= 5

Следовательно,

BO = BE − OE = 20− 5= 15.

Рассмотрим треугольник $BOA.$ $∘ ∠BOA = 90.$ Следовательно, $△ BOA$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AB2 = AO2 + OB2,

значит,

∘---------- ∘ -------- AB = AO2 + BO2 = 102 +152 = = √100+-225= √325-= 5√13.

Рассмотрим треугольник $AOE.$ В нём $∠AOE = 90∘.$ Следовательно, $△ AOE$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AE2 = AO2 + OE2,

значит,

∘ ---------- ∘ ------- AE = AO2 +OE2 = 102+ 52 = √------- √ --- √- = 100+ 25= 125 = 5 5.

Найдём стороны треугольника $ABC :$

$pict$

Способ 2.

Рассмотрим треугольник $ABD.$ В нем $BO$ — биссектриса и $BO ⊥ AD,$ следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный с основанием $AD,$ то есть $AB = BD.$

Так как $△ ABD$ — равнобедренный и $BO$ — биссектриса, проведённая к основанию, то $BO$ также является медианой. То есть $AO = OD.$

Поэтому

AD = AO + OD = 2AO = 20 AO = 10= OD

$BE$ — биссектриса в треугольнике $ABC.$ По свойству биссектрис

AE-= AB-= ---AB--- = AB--= AB--= 1. EC BC BD + DC 2DB 2AB 2

Пусть $EA =x,$ тогда $CE = 2x.$

$ABCDEOx211x00$

По теореме Менелая для $△ CBE$ и его секущей $AD :$

CD-⋅ BO ⋅ EA-= 1 DB OE AC 1 BO- ---EA--- 1 ⋅OE ⋅CE + EA = 1 1 BO x 1 ⋅OE-⋅3x = 1 1 BO 1 1 ⋅OE ⋅3 = 1 BO- = 3 OE BO = 3OE

$BE = BO + OE,$ следовательно,

BE = 4OE OE = BE- = 20 =5 4 4 BO = 3OE = 15

$√√ -- ABCDEO551010515 513$

$BO ⊥ AO$ в треугольнике $ABO$ , поэтому треугольник $ABO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 AB = AO + BO ,

значит,

∘---------- ∘ -------- AB = AO2 + BO2 = 102 +152 = = √100+-225= √325-= 5√13.

Следовательно,

√-- BC = BD + DC = 2BD = 2AB = 10 13.

$AO ⊥ EO$ в треугольнике $AEO$ , поэтому треугольник $AEO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 EA = AO + EO ,

значит,

∘ ---------- ∘ ------- EA = AO2 +EO2 = 102+ 52 = = √100+-25= √125-= 5√5.

Таким образом, $√- x = EA = 5 5.$ Тогда

√- AC = CE + EA = 2x + x= 3x= 15 5.

Ответ:

$√ -- √ -- √- 5 13; 10 13; 15 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105139Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 36. Найдите стороны треугольника $ABC.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Обозначим точку пересечения $BE$ и $AD$ за $O.$ Рассмотрим треугольник $ABD :$

1.: $∠BOD = ∠BOA = 90∘,$ так как $BE ⊥ AD$ по условию, следовательно, $BO$ — высота в треугольнике $ABD.$
2.: $∠ABO =∠DBO,$ так как $BE$ — биссектриса $∠ABC.$

$ABCDEFO9√9√9271818513-$

Тогда в треугольнике $ABD$ отрезок $BO$ — биссектриса и высота, следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника $BO$ — медиана треугольника $ABD.$ Тогда

AO = OD = 1AD = 1 ⋅36= 18. 2 2

В равнобедренном треугольнике $ABD$ с основанием $AD$ боковые стороны равны. Тогда

AB = BD = 1BC, 2

так как $AD$ — медиана треугольника $ABC.$ $BE$ — биссектриса в $△ ABC.$ По свойству биссектрисы треугольника

AE AB 1 EC- = BC-= 2 ⇒ EC = 2AE.

Тогда

AE- = --AE----= -AE- = 1. AC AE + EC 3AE 3

Продлим медиану $AD$ на её длину. Пусть точка $F$ — полученная точка. Тогда $AD =DF,$ $BD = DC.$ Четырёхугольник $ABF C$ — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, $BF ∥AC.$ Следовательно, $∠F AC = ∠BF A$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AC$ и $F B$ и секущей $AF.$ $BE ⊥AD,$ поэтому $∠BOF = ∠AOE = 90∘.$ Тогда $△ AOE ∼ △F OB$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

OE-= AE-. BO BF

Так как $AC = BF$ по свойству параллелограмма, то

AE- AE- 1 BF = AC = 3.

Значит,

OE- = 1 ⇒ BO = 3OE. BO 3

Тогда

OE OE OE OE 1 EB-= OE-+-OB- = OE-+-3OE-= 4OE- = 4 1 1 OE = 4BE = 4 ⋅36= 9

Следовательно,

BO = BE − OE = 36− 9= 27.

Рассмотрим треугольник $BOA.$ $∘ ∠BOA = 90.$ Следовательно, $△ BOA$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AB2 = AO2 + OB2,

значит,

∘---------- ∘ -------- AB = AO2 + BO2 = 182 +272 = =√324-+-729= √1053= 9√13.

Рассмотрим треугольник $AOE.$ В нём $∠AOE = 90∘.$ Следовательно, $△ AOE$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AE2 = AO2 + OE2,

значит,

∘ ---------- ∘ ------- AE = AO2 +OE2 = 182+ 92 = √------- √ --- √- = 324+ 81= 405 = 9 5.

Найдём стороны треугольника $ABC :$

$pict$

Способ 2.

Рассмотрим треугольник $ABD.$ В нем $BO$ — биссектриса и $BO ⊥ AD,$ следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный с основанием $AD,$ то есть $AB = BD.$

Так как $△ ABD$ — равнобедренный и $BO$ — биссектриса, проведённая к основанию, то $BO$ также является медианой. То есть $AO = OD.$

Поэтому

AD = AO + OD = 2AO = 36 AO = 18= OD

$BE$ — биссектриса в треугольнике $ABC.$ По свойству биссектрис

AE-= AB-= ---AB--- = AB--= AB--= 1. EC BC BD + DC 2DB 2AB 2

Пусть $EA =x,$ тогда $CE = 2x.$

$ABCDEOx211x88$

По теореме Менелая для $△ CBE$ и его секущей $AD :$

CD-⋅ BO ⋅ EA-= 1 DB OE AC 1 BO- ---EA--- 1 ⋅OE ⋅CE + EA = 1 1 BO x 1 ⋅OE-⋅3x = 1 1 BO 1 1 ⋅OE ⋅3 = 1 BO- = 3 OE BO = 3OE

$BE = BO + OE,$ следовательно,

BE = 4OE OE = BE- = 36 =9 4 4 BO = 3OE = 27

$√√ -- ABCDEO991818927 513$

$BO ⊥ AO$ в треугольнике $ABO$ , поэтому треугольник $ABO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 AB = AO + BO ,

значит,

∘---------- ∘ -------- AB = AO2 + BO2 = 182 +272 = =√324-+-729= √1053= 9√13.

Следовательно,

√-- BC = BD + DC = 2BD = 2AB = 18 13.

$AO ⊥ EO$ в треугольнике $AEO$ , поэтому треугольник $AEO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 EA = AO + EO ,

значит,

∘ ---------- ∘ ------- EA = AO2 +EO2 = 182+ 92 = = √324+-81= √405-= 9√5.

Таким образом, $√- x = EA = 9 5.$ Тогда

√- AC = CE + EA = 2x + x= 3x= 27 5.

Ответ:

$√ -- √ -- √- 9 13; 18 13; 27 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105140Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника $ABC.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Обозначим точку пересечения $BE$ и $AD$ за $O.$ Рассмотрим треугольник $ABD :$

1.: $∠BOD = ∠BOA = 90∘,$ так как $BE ⊥ AD$ по условию, следовательно, $BO$ — высота в треугольнике $ABD.$
2.: $∠ABO =∠DBO,$ так как $BE$ — биссектриса $∠ABC.$

$ABCDEFO7√7√7211414513-$

Тогда в треугольнике $ABD$ отрезок $BO$ — биссектриса и высота, следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника $BO$ — медиана треугольника $ABD.$ Тогда

AO = OD = 1AD = 1 ⋅28= 14. 2 2

В равнобедренном треугольнике $ABD$ с основанием $AD$ боковые стороны равны.Тогда

AB = BD = 1BC, 2

так как $AD$ — медиана треугольника $ABC.$ $BE$ — биссектриса в $△ ABC.$ По свойству биссектрисы треугольника

AE AB 1 EC- = BC-= 2 ⇒ EC = 2AE.

Тогда

AE- = --AE----= -AE- = 1. AC AE + EC 3AE 3

Продлим медиану $AD$ на её длину. Пусть точка $F$ — полученная точка. Тогда $AD =DF,$ $BD = DC.$ Четырёхугольник $ABF C$ — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, $BF ∥AC.$ Следовательно, $∠F AC = ∠BF A$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AC$ и $F B$ и секущей $AF.$ $BE ⊥AD,$ поэтому $∠BOF = ∠AOE = 90∘.$ Тогда $△ AOE ∼ △F OB$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

OE-= AE-. BO BF

Так как $AC = BF$ по свойству параллелограмма, то

AE- AE- 1 BF = AC = 3.

Значит,

OE- = 1 ⇒ BO = 3OE. BO 3

Тогда

OE OE OE OE 1 EB-= OE-+-OB- = OE-+-3OE-= 4OE- = 4 1 1 OE = 4BE = 4 ⋅28= 7

Следовательно,

BO = BE − OE = 28− 7= 21.

Рассмотрим треугольник $BOA.$ $∘ ∠BOA = 90.$ Следовательно, $△ BOA$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AB2 = AO2 + OB2,

значит,

∘---------- ∘ -------- AB = AO2 + BO2 = 142 +212 = = √196+-441= √637-= 7√13.

Рассмотрим треугольник $AOE.$ В нём $∠AOE = 90∘.$ Следовательно, $△ AOE$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AE2 = AO2 + OE2,

значит,

∘ ---------- ∘ ------- AE = AO2 +OE2 = 142+ 72 = √------- √ --- √- = 196+ 49= 245 = 7 5.

Найдём стороны треугольника $ABC :$

$pict$

Способ 2.

Рассмотрим треугольник $ABD.$ В нем $BO$ — биссектриса и $BO ⊥ AD,$ следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный с основанием $AD,$ то есть $AB = BD.$

Так как $△ ABD$ — равнобедренный и $BO$ — биссектриса, проведённая к основанию, то $BO$ также является медианой. То есть $AO = OD.$

Поэтому

AD = AO + OD = 2AO = 28 AO = 14= OD

$BE$ — биссектриса в треугольнике $ABC.$ По свойству биссектрис

AE-= AB-= ---AB--- = AB--= AB--= 1. EC BC BD + DC 2DB 2AB 2

Пусть $EA =x,$ тогда $CE = 2x.$

$ABCDEOx211x44$

По теореме Менелая для $△ CBE$ и его секущей $AD :$

CD-⋅ BO ⋅ EA-= 1 DB OE AC 1 BO- ---EA--- 1 ⋅OE ⋅CE + EA = 1 1 BO x 1 ⋅OE-⋅3x = 1 1 BO 1 1 ⋅OE ⋅3 = 1 BO- = 3 OE BO = 3OE

$BE = BO + OE,$ следовательно,

BE = 4OE OE = BE- = 28 =7 4 4 BO = 3OE = 21

$√√ -- ABCDEO771414721 513$

$BO ⊥ AO$ в треугольнике $ABO$ , поэтому треугольник $ABO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 AB = AO + BO ,

значит,

∘---------- ∘ -------- AB = AO2 + BO2 = 142 +212 = = √196+-441= √637-= 7√13.

Следовательно,

√-- BC = BD + DC = 2BD = 2AB = 14 13.

$AO ⊥ EO$ в треугольнике $AEO$ , поэтому треугольник $AEO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 EA = AO + EO ,

значит,

∘ ---------- ∘ ------- EA = AO2 +EO2 = 142+ 72 = = √196+-49= √245-= 7√5.

Таким образом, $√- x = EA = 7 5.$ Тогда

√- AC = CE + EA = 2x + x= 3x= 21 5.

Ответ:

$√ -- √ -- √- 7 13; 14 13; 21 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105141Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 16. Найдите стороны треугольника $ABC.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Обозначим точку пересечения $BE$ и $AD$ за $O.$ Рассмотрим треугольник $ABD :$

1.: $∠BOD = ∠BOA = 90∘,$ так как $BE ⊥ AD$ по условию, следовательно, $BO$ — высота в треугольнике $ABD.$
2.: $∠ABO =∠DBO,$ так как $BE$ — биссектриса $∠ABC.$

$ABCDEFO4√4√41288513-$

Тогда в треугольнике $ABD$ отрезок $BO$ — биссектриса и высота, следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника $BO$ — медиана треугольника $ABD.$ Тогда

AO = OD = 1AD = 1⋅16= 8. 2 2

В равнобедренном треугольнике $ABD$ с основанием $AD$ боковые стороны равны. Тогда

AB = BD = 1BC, 2

так как $AD$ — медиана треугольника $ABC.$ $BE$ — биссектриса в $△ ABC.$ По свойству биссектрисы треугольника

AE AB 1 EC- = BC-= 2 ⇒ EC = 2AE.

Тогда

AE- = --AE----= -AE- = 1. AC AE + EC 3AE 3

Продлим медиану $AD$ на её длину. Пусть точка $F$ — полученная точка. Тогда $AD =DF,$ $BD = DC.$ Четырёхугольник $ABF C$ — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, $BF ∥AC.$ Следовательно, $∠F AC = ∠BF A$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AC$ и $F B$ и секущей $AF.$ $BE ⊥AD,$ поэтому $∠BOF = ∠AOE = 90∘.$ Тогда $△ AOE ∼ △F OB$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

OE-= AE-. BO BF

Так как $AC = BF$ по свойству параллелограмма, то

AE- AE- 1 BF = AC = 3.

Значит,

OE- = 1 ⇒ BO = 3OE. BO 3

Тогда

OE OE OE OE 1 EB-= OE-+-OB- = OE-+-3OE-= 4OE- = 4 1 1 OE = 4BE = 4 ⋅16= 4

Следовательно,

BO = BE − OE = 16− 4= 12.

Рассмотрим треугольник $BOA.$ $∘ ∠BOA = 90.$ Следовательно, $△ BOA$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AB2 = AO2 + OB2,

значит,

∘ ---------- ∘ ------- AB = AO2 +BO2 = 82+ 122 = =√64-+-144= √208= 4√13.

Рассмотрим треугольник $AOE.$ В нём $∠AOE = 90∘.$ Следовательно, $△ AOE$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AE2 = AO2 + OE2,

значит,

∘ ---------- ∘ ------ AE = AO2 + OE2 = 82 +42 = √------ √ -- √- = 64+ 16= 80= 4 5.

Найдём стороны треугольника $ABC :$

$pict$

Способ 2.

Рассмотрим треугольник $ABD.$ В нем $BO$ — биссектриса и $BO ⊥ AD,$ следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный с основанием $AD,$ то есть $AB = BD.$

Так как $△ ABD$ — равнобедренный и $BO$ — биссектриса, проведённая к основанию, то $BO$ также является медианой. То есть $AO = OD.$

Поэтому

AD = AO + OD = 2AO = 16 AO = 8= OD

$BE$ — биссектриса в треугольнике $ABC.$ По свойству биссектрис

AE-= AB-= ---AB--- = AB--= AB--= 1. EC BC BD + DC 2DB 2AB 2

Пусть $EA =x,$ тогда $CE = 2x.$

$ABCDEOx288x$

По теореме Менелая для $△ CBE$ и его секущей $AD :$

CD-⋅ BO ⋅ EA-= 1 DB OE AC 1 BO- ---EA--- 1 ⋅OE ⋅CE + EA = 1 1 BO x 1 ⋅OE-⋅3x = 1 1 BO 1 1 ⋅OE ⋅3 = 1 BO- = 3 OE BO = 3OE

$BE = BO + OE,$ следовательно,

BE = 4OE OE = BE- = 16 =4 4 4 BO = 3OE = 12

$√√ -- ABCDEO4488412 513$

$BO ⊥ AO$ в треугольнике $ABO$ , поэтому треугольник $ABO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 AB = AO + BO ,

значит,

∘ ---------- ∘ ------- AB = AO2 +BO2 = 82+ 122 = =√64-+-144= √208= 4√13.

Следовательно,

√-- BC = BD +DC = 2BD = 2AB = 8 13.

$AO ⊥ EO$ в треугольнике $AEO$ , поэтому треугольник $AEO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 EA = AO + EO ,

значит,

∘ ---------- ∘ ------ EA = AO2 + EO2 = 82 +42 = = √64+-16= √80-= 4√5.

Таким образом, $√- x = EA = 4 5.$ Тогда

√- AC = CE + EA = 2x + x= 3x= 12 5.

Ответ:

$√ -- √-- √- 4 13;8 13;12 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105142Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 44. Найдите стороны треугольника $ABC.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Обозначим точку пересечения $BE$ и $AD$ за $O.$ Рассмотрим треугольник $ABD :$

1.: $∠BOD = ∠BOA = 90∘,$ так как $BE ⊥ AD$ по условию, следовательно, $BO$ — высота в треугольнике $ABD.$
2.: $∠ABO =∠DBO,$ так как $BE$ — биссектриса $∠ABC.$

$ABCDEFO111322111322√√513$

Тогда в треугольнике $ABD$ отрезок $BO$ — биссектриса и высота, следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника $BO$ — медиана треугольника $ABD.$ Тогда

AO = OD = 1AD = 1 ⋅44= 22. 2 2

В равнобедренном треугольнике $ABD$ с основанием $AD$ боковые стороны равны. Тогда

AB = BD = 1BC, 2

так как $AD$ — медиана треугольника $ABC.$ $BE$ — биссектриса в $△ ABC.$ По свойству биссектрисы треугольника

AE AB 1 EC- = BC-= 2 ⇒ EC = 2AE.

Тогда

AE- = --AE----= -AE- = 1. AC AE + EC 3AE 3

Продлим медиану $AD$ на её длину. Пусть точка $F$ — полученная точка. Тогда $AD =DF,$ $BD = DC.$ Четырёхугольник $ABF C$ — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, $BF ∥AC.$ Следовательно, $∠F AC = ∠BF A$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AC$ и $F B$ и секущей $AF.$ $BE ⊥AD,$ поэтому $∠BOF = ∠AOE = 90∘.$ Тогда $△ AOE ∼ △F OB$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

OE-= AE-. BO BF

Так как $AC = BF$ по свойству параллелограмма, то

AE- AE- 1 BF = AC = 3.

Значит,

OE- = 1 ⇒ BO = 3OE. BO 3

Тогда

OE OE OE OE 1 EB-= OE-+-OB- = OE-+-3OE-= 4OE- = 4 1 1 OE = 4 BE = 4 ⋅44 =11

Следовательно,

BO = BE − OE = 44− 11 = 33.

Рассмотрим треугольник $BOA.$ $∘ ∠BOA = 90.$ Следовательно, $△ BOA$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AB2 = AO2 + OB2,

значит,

∘---------- ∘ -------- AB = AO2 + BO2 = 222 +332 = = √484+-1089= √1573= 11√13.

Рассмотрим треугольник $AOE.$ В нём $∠AOE = 90∘.$ Следовательно, $△ AOE$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

AE2 = AO2 + OE2,

значит,

∘---------- ∘ -------- AE = AO2 + OE2 = 222 +112 = √-------- √ --- √ - = 484+ 121= 605 = 11 5.

Найдём стороны треугольника $ABC :$

$pict$

Способ 2.

Рассмотрим треугольник $ABD.$ В нем $BO$ — биссектриса и $BO ⊥ AD,$ следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный с основанием $AD,$ то есть $AB = BD.$

Так как $△ ABD$ — равнобедренный и $BO$ — биссектриса, проведённая к основанию, то $BO$ также является медианой. То есть $AO = OD.$

Поэтому

AD = AO + OD = 2AO = 44 AO = 22= OD

$BE$ — биссектриса в треугольнике $ABC.$ По свойству биссектрис

AE-= AB-= ---AB--- = AB--= AB--= 1. EC BC BD + DC 2DB 2AB 2

Пусть $EA =x,$ тогда $CE = 2x.$

$ABCDEOx222x22$

По теореме Менелая для $△ CBE$ и его секущей $AD :$

CD-⋅ BO ⋅ EA-= 1 DB OE AC 1 BO- ---EA--- 1 ⋅OE ⋅CE + EA = 1 1 BO x 1 ⋅OE-⋅3x = 1 1 BO 1 1 ⋅OE ⋅3 = 1 BO- = 3 OE BO = 3OE

$BE = BO + OE,$ следовательно,

BE = 4OE OE = BE- = 44-= 11 4 4 BO = 3OE = 33

$√√-- ABCDEO112213112213 513$

$BO ⊥ AO$ в треугольнике $ABO$ , поэтому треугольник $ABO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 AB = AO + BO ,

значит,

∘---------- ∘ -------- AB = AO2 + BO2 = 222 +332 = = √484+-1089= √1573= 11√13.

Следовательно,

√-- BC = BD + DC = 2BD = 2AB = 22 13.

$AO ⊥ EO$ в треугольнике $AEO$ , поэтому треугольник $AEO$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 EA = AO + EO ,

значит,

∘---------- ∘ -------- EA = AO2 + EO2 = 222 +112 = = √484+-121= √605-= 11√5.

Таким образом, $√ - x = EA = 11 5.$ Тогда

√- AC = CE + EA = 2x + x= 3x= 33 5.

Ответ:

$√-- √-- √- 11 13;22 13;33 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2