05 №25. Тип 5 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#42125Максимум баллов за задание: 2

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD,$ если $BC = 18,$ а углы $B$ и $C$ четырехугольника равны соответственно $132∘$ и $93∘.$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 29

Показать ответ и решение

Так как точки $A,$ $B,$ $C$ и $D$ равноудалены от точки $M,$ то эти точки лежат на окружности с центром в точке $M$ и радиусом $AM.$

Пусть

AM = BM = CM = DM = R.

$MCBHAD45RRRR99∘$

Так как четырёхугольник $ABCD$ вписанный, то сумма противоположных углов равна $180∘,$ значит,

$pict$

Так как в треугольнике $ABM$ известно, что $AM = BM = R,$ то треугольник $ABM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠ABM = ∠BAM = 87∘.

Тогда

∠MBC = ∠ABC − ∠MBA = = 132∘− 87∘ = 45∘.

Так как в треугольнике $MBC$ известно, что $MB = MC = R,$ то треугольник $MBC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠MCB = ∠MBC = 45∘.

Проведём высоту $MH$ в треугольнике $MBC.$ Так как $MBC$ — равнобедренный, то $MH$ — медиана и

BH = HC = 1 BC = 1⋅18 =9. 2 2

В прямоугольном треугольнике $BHM :$

BH cos∠MBH = BM-- cos45∘ =-9 √- R -2-= 9- 2 R

Следовательно,

√ - √ - R = √18= 18--2= 9 2. 2 2

Тогда

√- √ - AD = 2R = 2⋅9 2 = 18 2.

Ответ:

$√- 18 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#105210Максимум баллов за задание: 2

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD,$ если $BC = 14,$ а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $110∘$ и $100∘.$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 30

Показать ответ и решение

Так как точки $A,$ $B,$ $C$ и $D$ равноудалены от точки $M,$ то эти точки лежат на окружности с центром в точке $M$ и радиусом $AM.$

Пусть

AM = BM = CM = DM = R.

$MBCHAD30RRRR77∘$

Так как четырёхугольник $ABCD$ вписанный, то сумма противоположных углов равна $180∘,$ значит,

$pict$

Так как в треугольнике $ABM$ известно, что $AM = BM = R,$ то треугольник $ABM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠ABM = ∠BAM = 80∘.

Тогда

∠MBC = ∠ABC − ∠MBA = = 110∘− 80∘ = 30∘.

Так как в треугольнике $MBC$ известно, что $MB = MC = R,$ то треугольник $MBC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠MCB = ∠MBC = 30∘.

Проведём высоту $MH$ в треугольнике $MBC.$ Так как $MBC$ — равнобедренный, то $MH$ — медиана и

BH = HC = 1 BC = 1⋅14 =7. 2 2

В прямоугольном треугольнике $BHM :$

BH cos∠MBH = BM-- cos30∘ =-7 √- R -3-= 7- 2 R

Следовательно,

√ - R = 1√4-= 14--3. 3 3

Тогда

√ - √ - AD =2R = 2⋅ 14-3= 28--3. 3 3

Ответ:

$√ - 28--3 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#45346Максимум баллов за задание: 2

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD,$ если $BC = 3,$ а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $94∘$ и $131∘.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как точки $A,$ $B,$ $C$ и $D$ равноудалены от точки $M,$ то эти точки лежат на окружности с центром в точке $M$ и радиусом $AM.$

Пусть

AM = BM = CM = DM = R.

$MBCHAD45RRRR11∘,5,5$

Так как четырёхугольник $ABCD$ вписанный, то сумма противоположных углов равна $180∘,$ значит,

$pict$

Так как в треугольнике $ABM$ известно, что $AM = BM = R,$ то треугольник $ABM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠ABM = ∠BAM = 49∘.

Тогда

∠MBC = ∠ABC − ∠MBA = = 94∘ − 49∘ =45∘.

Так как в треугольнике $MBC$ известно, что $MB = MC = R,$ то треугольник $MBC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠MCB = ∠MBC = 45∘.

Проведём высоту $MH$ в треугольнике $MBC.$ Так как $MBC$ — равнобедренный, то $MH$ — медиана и

BH = HC = 1BC = 1 ⋅3= 3. 2 2 2

В прямоугольном треугольнике $BHM :$

BH cos∠MBH = BM-- cos45∘ = -3- √ - 2R --2 = 3-- 2 2R

Следовательно,

√- R = 3√--= 3-2. 2 2

Тогда

√ - AD = 2R = 2⋅ 3-2= 3√2. 2

Ответ:

$√ - 3 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#55907Максимум баллов за задание: 2

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD,$ если $BC = 9,$ а углы $B$ и $C$ четырехугольника равны соответственно $116∘$ и $94∘.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как точки $A,$ $B,$ $C$ и $D$ равноудалены от точки $M,$ то эти точки лежат на окружности с центром в точке $M$ и радиусом $AM.$

Пусть

AM = BM = CM = DM = R.

$MBCHAD30RRRR44∘,5,5$

Так как четырёхугольник $ABCD$ вписанный, то сумма противоположных углов равна $180∘,$ значит,

$pict$

Так как в треугольнике $ABM$ известно, что $AM = BM = R,$ то треугольник $ABM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠ABM = ∠BAM = 86∘.

Тогда

∠MBC = ∠ABC − ∠MBA = = 116∘− 86∘ = 30∘.

Так как в треугольнике $MBC$ известно, что $MB = MC = R,$ то треугольник $MBC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠MCB = ∠MBC = 30∘.

Проведём высоту $MH$ в треугольнике $MBC.$ Так как $MBC$ — равнобедренный, то $MH$ — медиана и

BH = HC = 1BC = 1 ⋅9= 9. 2 2 2

В прямоугольном треугольнике $BHM :$

BH cos∠MBH = BM-- cos30∘ = -9- √ - 2R --3 = 9-- 2 2R

Следовательно,

√- √- R = √9-= 9-3-= 3 3. 3 3

Тогда

√ - √- AD = 2R = 2 ⋅3 3= 6 3.

Ответ:

$√ - 6 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#56386Максимум баллов за задание: 2

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD,$ если $BC = 12,$ а углы $B$ и $C$ четырехугольника равны соответственно $115∘$ и $95∘.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как точки $A,$ $B,$ $C$ и $D$ равноудалены от точки $M,$ то эти точки лежат на окружности с центром в точке $M$ и радиусом $AM.$

Пусть

AM = BM = CM = DM = R.

$MBCHADRRRR6630∘$

Так как четырёхугольник $ABCD$ вписанный, то сумма противоположных углов равна $180∘,$ значит,

$pict$

Так как в треугольнике $ABM$ известно, что $AM = BM = R,$ то треугольник $ABM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠ABM = ∠BAM = 85∘.

Тогда

∠MBC = ∠ABC − ∠MBA = = 115∘− 85∘ = 30∘.

Так как в треугольнике $MBC$ известно, что $MB = MC = R,$ то треугольник $MBC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠MCB = ∠MBC = 30∘.

Проведём высоту $MH$ в треугольнике $MBC.$ Так как $MBC$ — равнобедренный, то $MH$ — медиана и

BH = HC = 1 BC = 1⋅12 =6. 2 2

В прямоугольном треугольнике $BHM :$

BH cos∠MBH = BM-- cos30∘ =-6 √- R -3-= 6- 2 R

Следовательно,

√ - √ - R = √12= 12--3= 4 3. 3 3

Тогда

√ - √- AD = 2R = 2 ⋅4 3= 8 3.

Ответ:

$√ - 8 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105205Максимум баллов за задание: 2

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD,$ если $BC = 6,$ а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $124∘$ и $116∘.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как точки $A,$ $B,$ $C$ и $D$ равноудалены от точки $M,$ то эти точки лежат на окружности с центром в точке $M$ и радиусом $AM.$

Пусть

AM = BM = CM = DM = R.

$∘ MBCHADRRRR3360$

Так как четырёхугольник $ABCD$ вписанный, то сумма противоположных углов равна $180∘,$ значит,

$pict$

Так как в треугольнике $ABM$ известно, что $AM = BM = R,$ то треугольник $ABM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠ABM = ∠BAM = 64∘.

Тогда

∠MBC = ∠ABC − ∠MBA = = 124∘− 64∘ = 60∘.

Так как в треугольнике $MBC$ известно, что $MB = MC = R,$ то треугольник $MBC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠MCB = ∠MBC = 60∘.

Проведём высоту $MH$ в треугольнике $MBC.$ Так как $MBC$ — равнобедренный, то $MH$ — медиана и

BH = HC = 1BC = 1 ⋅6= 3. 2 2

В прямоугольном треугольнике $BHM :$

BH-- cos∠MBH = BM ∘ 3 cos60 = R- 1 3 2 = R

Следовательно,

R = 3⋅2= 6.

Тогда

AD = 2R = 2⋅6 = 12.

Ответ: 12

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105207Максимум баллов за задание: 2

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD,$ если $BC = 10,$ а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $112∘$ и $113∘.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как точки $A,$ $B,$ $C$ и $D$ равноудалены от точки $M,$ то эти точки лежат на окружности с центром в точке $M$ и радиусом $AM.$

Пусть

AM = BM = CM = DM = R.

$MBCHAD45RRRR55∘$

Так как четырёхугольник $ABCD$ вписанный, то сумма противоположных углов равна $180∘,$ значит,

$pict$

Так как в треугольнике $ABM$ известно, что $AM = BM = R,$ то треугольник $ABM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠ABM = ∠BAM = 67∘.

Тогда

∠MBC = ∠ABC − ∠MBA = = 112∘− 67∘ = 45∘.

Так как в треугольнике $MBC$ известно, что $MB = MC = R,$ то треугольник $MBC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠MCB = ∠MBC = 45∘.

Проведём высоту $MH$ в треугольнике $MBC.$ Так как $MBC$ — равнобедренный, то $MH$ — медиана и

BH = HC = 1 BC = 1⋅10 =5. 2 2

В прямоугольном треугольнике $BHM :$

BH cos∠MBH = BM-- cos45∘ =-5 √- R -2-= 5- 2 R

Следовательно,

√ - √ - R = √10= 10--2= 5 2. 2 2

Тогда

√- √ - AD = 2R = 2⋅5 2 = 10 2.

Ответ:

$√- 10 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105208Максимум баллов за задание: 2

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD,$ если $BC = 11,$ а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $126∘$ и $99∘.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как точки $A,$ $B,$ $C$ и $D$ равноудалены от точки $M,$ то эти точки лежат на окружности с центром в точке $M$ и радиусом $AM.$

Пусть

AM = BM = CM = DM = R.

$MCBHAD45RRRR55∘,5,5$

Так как четырёхугольник $ABCD$ вписанный, то сумма противоположных углов равна $180∘,$ значит,

$pict$

Так как в треугольнике $ABM$ известно, что $AM = BM = R,$ то треугольник $ABM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠ABM = ∠BAM = 81∘.

Тогда

∠MBC = ∠ABC − ∠MBA = = 126∘− 81∘ = 45∘.

Так как в треугольнике $MBC$ известно, что $MB = MC = R,$ то треугольник $MBC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠MCB = ∠MBC = 45∘.

Проведём высоту $MH$ в треугольнике $MBC.$ Так как $MBC$ — равнобедренный, то $MH$ — медиана и

BH = HC = 1BC = 1 ⋅11= 11. 2 2 2

В прямоугольном треугольнике $BHM :$

BH cos∠MBH = BM-- cos45∘ = 11- √ - 2R --2 = 11- 2 2R

Следовательно,

√ - R = 1√1-= 11--2. 2 2

Тогда

√ - AD = 2R = 2⋅ 11-2= 11√2. 2

Ответ:

$√- 11 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105209Максимум баллов за задание: 2

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD,$ если $BC = 19,$ а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $95∘$ и $115∘.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как точки $A,$ $B,$ $C$ и $D$ равноудалены от точки $M,$ то эти точки лежат на окружности с центром в точке $M$ и радиусом $AM.$

Пусть

AM = BM = CM = DM = R.

$MCBHAD30RRRR99∘,5,5$

Так как четырёхугольник $ABCD$ вписанный, то сумма противоположных углов равна $180∘,$ значит,

$pict$

Так как в треугольнике $ABM$ известно, что $AM = BM = R,$ то треугольник $ABM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠ABM = ∠BAM = 65∘.

Тогда

∠MBC = ∠ABC − ∠MBA = = 95∘ − 65∘ =30∘.

Так как в треугольнике $MBC$ известно, что $MB = MC = R,$ то треугольник $MBC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠MCB = ∠MBC = 30∘.

Проведём высоту $MH$ в треугольнике $MBC.$ Так как $MBC$ — равнобедренный, то $MH$ — медиана и

BH = HC = 1BC = 1 ⋅19= 19. 2 2 2

В прямоугольном треугольнике $BHM :$

BH cos∠MBH = BM-- cos30∘ = 19- √ - 2R --3 = 19- 2 2R

Следовательно,

√ - R = 1√9-= 19--3. 3 3

Тогда

√ - √ - AD =2R = 2⋅ 19-3= 38--3. 3 3

Ответ:

$√ - 38--3 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105211Максимум баллов за задание: 2

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD,$ если $BC = 8,$ а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $129∘$ и $96∘.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как точки $A,$ $B,$ $C$ и $D$ равноудалены от точки $M,$ то эти точки лежат на окружности с центром в точке $M$ и радиусом $AM.$

Пусть

AM = BM = CM = DM = R.

$MCBHAD45RRRR44∘$

Так как четырёхугольник $ABCD$ вписанный, то сумма противоположных углов равна $180∘,$ значит,

$pict$

Так как в треугольнике $ABM$ известно, что $AM = BM = R,$ то треугольник $ABM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠ABM = ∠BAM = 84∘.

Тогда

∠MBC = ∠ABC − ∠MBA = = 129∘− 84∘ = 45∘.

Так как в треугольнике $MBC$ известно, что $MB = MC = R,$ то треугольник $MBC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠MCB = ∠MBC = 45∘.

Проведём высоту $MH$ в треугольнике $MBC.$ Так как $MBC$ — равнобедренный, то $MH$ — медиана и

BH = HC = 1BC = 1 ⋅8= 4. 2 2

В прямоугольном треугольнике $BHM :$

BH cos∠MBH = BM-- cos45∘ =-4 √- R -2-= 4- 2 R

Следовательно,

√- √- R = √8-= 8-2-= 4 2. 2 2

Тогда

√ - √- AD = 2R = 2 ⋅4 2= 8 2.

Ответ:

$√ - 8 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2