06 №25. Тип 6 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#42866Максимум баллов за задание: 2

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC,$ где $AD > BC.$ Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, то $AB = CD.$ Пусть $AC ∩BD =O.$

$abx43ANHMDBKCO02$

Трапеция $ABCD$ описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника

AB + CD = BC + AD.

По условию периметр трапеции равен 160, то есть

AB + CD + BC + AD = 160 2(AB + CD )= 160 AB + CD = 80

Тогда

AB = CD = 80 =40. 2

Пусть $BC =a,AD =b.$ Тогда

1 a+ b= 2 ⋅160= 80.

Опустим высоты $CM$ и $BN.$ Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то

BC-+-AD-⋅CM = 1280 2 (BC + AD )⋅CM =2560 (a+ b)⋅CM =2560 80⋅CM = 2560 CM = 2560 80 CM = 32

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так как $CM ⊥ AD$ и $BN ⊥ AD,$ то $CM ∥BN.$

Рассмотрим четырёхугольник $NBCM.$ В нём $BN ∥ CM$ и $BC ∥ AD$ как основания трапеции, следовательно, $BC ∥NM.$ Тогда $NBCM$ — параллелограмм и $BC = NM$ по свойству параллелограмма.

Рассмотрим треугольники $ABN$ и $DCM.$ В них $AB = CD,$ $∠BAN = ∠CDM$ как углы при основании равнобедренной трапеции, $∠BNA = ∠CMD = 90∘.$ Тогда прямоугольные треугольники $ABN$ и $DCM$ равны по острому углу и гипотенузе. $AN = DM$ как соответственные элементы. В треугольнике $CMD$ по теореме Пифагора

CM2 + MD2 =CD2.

Тогда

∘---------- ∘-------- MD = CD2 − CM2 = 402− 322 = √ ---------- √ --- = 1600 − 1024= 576 = 24.

Следовательно, $AN = MD = 24.$

Значит,

b= AN + MN +MD = = 24+ MN + 24 = 48+ BC = 48+ a.

Так как $a+ b= 80,$ то

a+ 48+ a =80 2a= 80 − 48 =32 a= 16

Найдём $AD :$

AD = 80− BC = 80− 16= 64.

Проведём высоту $KH$ трапеции $ABCD,$ проходящую через точку $O,$ $K ∈ BC,$ $H ∈ AD.$ Так как $KH$ — высота трапеции, то

KH = BN = CM = 32.

Рассмотрим треугольники $CBO$ и $ADO.$ В них $∠CBD = ∠ADB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD,$ а $∠AOD = ∠COB$ как вертикальные.

Тогда $△ CBO ∼ △ADO$ по двум углам. Значит, отношение их соответственных высот равно коэффициенту подобия, то есть

OK--= BC- = 16= 1 . OH AD 64 4

Пусть $KO = x.$ Тогда $OH = 32− x.$

--x-- 1 32− x = 4 4x = 32− x 5x =32 x = 6,4

Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина $OK,$ то есть 6,4.

Ответ: 6,4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#105354Максимум баллов за задание: 2

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь равна 20, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC,$ где $AD > BC.$ Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, то $AB = CD.$ Пусть $AC ∩BD =O.$

$abx54ANHMDBKCO$

Трапеция $ABCD$ описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника

AB + CD = BC + AD.

По условию периметр трапеции равен 20, то есть

AB + CD + BC + AD = 20 2(AB + CD) =20 AB + CD = 10

Тогда

AB = CD = 10-= 5. 2

Пусть $BC =a,AD =b.$ Тогда

1 a+ b= 2 ⋅20 =10.

Опустим высоты $CM$ и $BN.$ Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то

BC-+-AD-⋅CM = 20 2 (BC + AD )⋅CM = 40 (a+ b)⋅CM = 40 10⋅CM = 40 CM = 40 10 CM = 4

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так как $CM ⊥ AD$ и $BN ⊥ AD,$ то $CM ∥BN.$

Рассмотрим четырёхугольник $NBCM.$ В нём $BN ∥ CM$ и $BC ∥ AD$ как основания трапеции, следовательно, $BC ∥NM.$ Тогда $NBCM$ — параллелограмм и $BC = NM$ по свойству параллелограмма.

Рассмотрим треугольники $ABN$ и $DCM.$ В них $AB = CD,$ $∠BAN = ∠CDM$ как углы при основании равнобедренной трапеции, $∠BNA = ∠CMD = 90∘.$ Тогда прямоугольные треугольники $ABN$ и $DCM$ равны по острому углу и гипотенузе. $AN = DM$ как соответственные элементы. В треугольнике $CMD$ по теореме Пифагора

CM2 + MD2 =CD2.

Тогда

∘ ---------- ∘ ------ MD = CD2 − CM2 = 52− 42 = √ ------ √- = 25− 16= 9 = 3.

Следовательно, $AN = MD = 3.$

Значит,

b= AN + MN +MD = = 3+ MN +3 = 6+ BC = 6+ a.

Так как $a+ b= 10,$ то

a+ 6+ a= 10 2a= 10− 6 =4 a =2

Найдём $AD :$

AD = 10− BC = 10− 2= 8.

Проведём высоту $KH$ трапеции $ABCD,$ проходящую через точку $O,$ $K ∈ BC,$ $H ∈ AD.$ Так как $KH$ — высота трапеции, то

KH = BN = CM = 4.

Рассмотрим треугольники $CBO$ и $ADO.$ В них $∠CBD = ∠ADB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD,$ а $∠AOD = ∠COB$ как вертикальные.

Тогда $△ CBO ∼ △ADO$ по двум углам. Значит, отношение их соответственных высот равно коэффициенту подобия, то есть

OK--= BC-= 2 = 1. OH AD 8 4

Пусть $KO = x.$ Тогда $OH = 4− x.$

--x-- 1 4 − x = 4 4x= 4 − x 5x = 4 x = 0,8

Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина $OK,$ то есть 0,8.

Ответ: 0,8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#55717Максимум баллов за задание: 2

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 100, а площадь равна 500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC,$ где $AD > BC.$ Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, то $AB = CD.$ Пусть $AC ∩BD = O.$

$abx22ANHMDBKCO50$

Трапеция $ABCD$ описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника

AB + CD = BC + AD.

По условию периметр трапеции равен 100, то есть

AB + CD + BC + AD = 100 2(AB + CD )= 100 AB + CD = 50

Тогда

AB = CD = 50 =25. 2

Пусть $BC =a,AD =b.$ Тогда

1 a+ b= 2 ⋅100= 50.

Опустим высоты $CM$ и $BN.$ Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то

BC-+AD--⋅CM =500 2 (BC + AD )⋅CM =1000 (a+ b)⋅CM =1000 50⋅CM = 1000 CM = 1000 50 CM = 20

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так как $CM ⊥ AD$ и $BN ⊥ AD,$ то $CM ∥BN.$

Рассмотрим четырёхугольник $NBCM.$ В нём $BN ∥ CM$ и $BC ∥ AD$ как основания трапеции, следовательно, $BC ∥NM.$ Тогда $NBCM$ — параллелограмм и $BC = NM$ по свойству параллелограмма.

Рассмотрим треугольники $ABN$ и $DCM.$ В них $AB = CD,$ $∠BAN = ∠CDM$ как углы при основании равнобедренной трапеции, $∠BNA = ∠CMD = 90∘.$ Тогда прямоугольные треугольники $ABN$ и $DCM$ равны по острому углу и гипотенузе. $AN = DM$ как соответственные элементы. В треугольнике $CMD$ по теореме Пифагора

CM2 + MD2 =CD2.

Тогда

∘---------- ∘-------- MD = CD2 − CM2 = 252− 202 = √ -------- √ --- = 625 − 400 = 225= 15.

Следовательно, $AN = MD = 15.$

Значит,

b= AN + MN +MD = = 15+ MN + 15 = 30+ BC = 30+ a.

Так как $a+ b= 50,$ то

a+ 30+ a =50 2a= 50 − 30 =20 a= 10

Найдём $AD :$

AD = 50− BC = 50− 10= 40.

Проведём высоту $KH$ трапеции $ABCD,$ проходящую через точку $O,$ $K ∈ BC,$ $H ∈ AD.$ Так как $KH$ — высота трапеции, то

KH = BN = CM = 20.

Рассмотрим треугольники $CBO$ и $ADO.$ В них $∠CBD = ∠ADB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD,$ а $∠AOD = ∠COB$ как вертикальные.

Тогда $△ CBO ∼ △ADO$ по двум углам. Значит, отношение их соответственных высот равно коэффициенту подобия, то есть

OK--= BC- = 10= 1 . OH AD 40 4

Пусть $KO = x.$ Тогда $OH = 20− x.$

--x-- 1 20− x = 4 4x = 20− x 5x =20 x =4

Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина $OK,$ то есть 4.

Ответ: 4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#56380Максимум баллов за задание: 2

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC,$ где $AD > BC.$ Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, то $AB = CD.$ Пусть $AC ∩BD =O.$

$abx18ANHMDBKCO0$

Трапеция $ABCD$ описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника

AB + CD = BC + AD.

По условию периметр трапеции равен 40, то есть

AB + CD + BC + AD = 40 2(AB + CD) =40 AB + CD = 20

Тогда

AB = CD = 20 =10. 2

Пусть $BC =a,AD =b.$ Тогда

1 a+ b= 2 ⋅40 =20.

Опустим высоты $CM$ и $BN.$ Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то

BC-+-AD-⋅CM = 80 2 (BC +AD )⋅CM = 160 (a + b)⋅CM = 160 20 ⋅CM = 160 CM = 160- 20 CM = 8

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так как $CM ⊥ AD$ и $BN ⊥ AD,$ то $CM ∥BN.$

Рассмотрим четырёхугольник $NBCM.$ В нём $BN ∥ CM$ и $BC ∥ AD$ как основания трапеции, следовательно, $BC ∥NM.$ Тогда $NBCM$ — параллелограмм и $BC = NM$ по свойству параллелограмма.

Рассмотрим треугольники $ABN$ и $DCM.$ В них $AB = CD,$ $∠BAN = ∠CDM$ как углы при основании равнобедренной трапеции, $∠BNA = ∠CMD = 90∘.$ Тогда прямоугольные треугольники $ABN$ и $DCM$ равны по острому углу и гипотенузе. $AN = DM$ как соответственные элементы. В треугольнике $CMD$ по теореме Пифагора

CM2 + MD2 =CD2.

Тогда

∘ ---------- ∘ ------- MD = CD2 − CM2 = 102− 82 = √ ------- √-- = 100− 64= 36 =6.

Следовательно, $AN = MD = 6.$

Значит,

b= AN + MN +MD = = 6+ MN + 6= 12+ BC = 12+ a.

Так как $a+ b= 20,$ то

a+ 12+ a =20 2a= 20− 12= 8 a =4

Найдём $AD :$

AD = 20 − BC = 20 − 4= 16.

Проведём высоту $KH$ трапеции $ABCD,$ проходящую через точку $O,$ $K ∈ BC,$ $H ∈ AD.$ Так как $KH$ — высота трапеции, то

KH = BN = CM = 8.

Рассмотрим треугольники $CBO$ и $ADO.$ В них $∠CBD = ∠ADB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD,$ а $∠AOD = ∠COB$ как вертикальные.

Тогда $△ CBO ∼ △ADO$ по двум углам. Значит, отношение их соответственных высот равно коэффициенту подобия, то есть

OK--= BC- = 4-= 1 . OH AD 16 4

Пусть $KO = x.$ Тогда $OH = 8− x.$

--x-- 1 8 − x = 4 4x= 8 − x 5x = 8 x = 1,6

Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина $OK,$ то есть 1,6.

Ответ: 1,6

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105349Максимум баллов за задание: 2

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC,$ где $AD > BC.$ Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, то $AB = CD.$ Пусть $AC ∩BD = O.$

$abx54ANHMDBKCO00$

Трапеция $ABCD$ описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника

AB + CD = BC + AD.

По условию периметр трапеции равен 200, то есть

AB + CD + BC + AD = 200 2(AB + CD )= 200 AB + CD = 100

Тогда

AB = CD = 100-= 50. 2

Пусть $BC =a,AD =b.$ Тогда

1 a+ b= 2 ⋅200 =100.

Опустим высоты $CM$ и $BN.$ Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то

BC-+-AD-⋅CM = 2000 2 (BC + AD )⋅CM =4000 (a+ b)⋅CM =4000 100 ⋅CM = 4000 CM = 4000 100 CM = 40

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так как $CM ⊥ AD$ и $BN ⊥ AD,$ то $CM ∥BN.$

Рассмотрим четырёхугольник $NBCM.$ В нём $BN ∥ CM$ и $BC ∥ AD$ как основания трапеции, следовательно, $BC ∥NM.$ Тогда $NBCM$ — параллелограмм и $BC = NM$ по свойству параллелограмма.

Рассмотрим треугольники $ABN$ и $DCM.$ В них $AB = CD,$ $∠BAN = ∠CDM$ как углы при основании равнобедренной трапеции, $∠BNA = ∠CMD = 90∘.$ Тогда прямоугольные треугольники $ABN$ и $DCM$ равны по острому углу и гипотенузе. $AN = DM$ как соответственные элементы. В треугольнике $CMD$ по теореме Пифагора

CM2 + MD2 =CD2.

Тогда

∘---------- ∘-------- MD = CD2 − CM2 = 502− 402 = √ ---------- √ --- = 2500 − 1600= 900 = 30.

Следовательно, $AN = MD = 30.$

Значит,

b= AN + MN +MD = = 30+ MN + 30 = 60+ BC = 60+ a.

Так как $a+ b= 100,$ то

a+ 60+ a= 100 2a= 100− 60= 40 a= 20

Найдём $AD :$

AD = 100− BC = 100− 20= 80.

Проведём высоту $KH$ трапеции $ABCD,$ проходящую через точку $O,$ $K ∈ BC,$ $H ∈ AD.$ Так как $KH$ — высота трапеции, то

KH = BN = CM = 40.

Рассмотрим треугольники $CBO$ и $ADO.$ В них $∠CBD = ∠ADB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD,$ а $∠AOD = ∠COB$ как вертикальные.

Тогда $△ CBO ∼ △ADO$ по двум углам. Значит, отношение их соответственных высот равно коэффициенту подобия, то есть

OK--= BC- = 20= 1 . OH AD 80 4

Пусть $KO = x.$ Тогда $OH = 40− x.$

--x-- 1 40− x = 4 4x = 40− x 5x =40 x =8

Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина $OK,$ то есть 8.

Ответ: 8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105350Максимум баллов за задание: 2

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадь равна 1620, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC,$ где $AD > BC.$ Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, то $AB = CD.$ Пусть $AC ∩BD = O.$

$abx43ANHMDBKCO56$

Трапеция $ABCD$ описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника

AB + CD = BC + AD.

По условию периметр трапеции равен 180, то есть

AB + CD + BC + AD = 180 2(AB + CD )= 180 AB + CD = 90

Тогда

AB = CD = 90 =45. 2

Пусть $BC =a,AD =b.$ Тогда

1 a+ b= 2 ⋅180= 90.

Опустим высоты $CM$ и $BN.$ Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то

BC-+-AD-⋅CM = 1620 2 (BC + AD )⋅CM =3240 (a+ b)⋅CM =3240 90⋅CM = 3240 CM = 3240 90 CM = 36

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так как $CM ⊥ AD$ и $BN ⊥ AD,$ то $CM ∥BN.$

Рассмотрим четырёхугольник $NBCM.$ В нём $BN ∥ CM$ и $BC ∥ AD$ как основания трапеции, следовательно, $BC ∥NM.$ Тогда $NBCM$ — параллелограмм и $BC = NM$ по свойству параллелограмма.

Рассмотрим треугольники $ABN$ и $DCM.$ В них $AB = CD,$ $∠BAN = ∠CDM$ как углы при основании равнобедренной трапеции, $∠BNA = ∠CMD = 90∘.$ Тогда прямоугольные треугольники $ABN$ и $DCM$ равны по острому углу и гипотенузе. $AN = DM$ как соответственные элементы. В треугольнике $CMD$ по теореме Пифагора

CM2 + MD2 =CD2.

Тогда

∘---------- ∘-------- MD = CD2 − CM2 = 452− 362 = √ ---------- √ --- = 2025 − 1296= 729 = 27.

Следовательно, $AN = MD = 27.$

Значит,

b= AN + MN +MD = = 27+ MN + 27 = 54+ BC = 54+ a.

Так как $a+ b= 90,$ то

a+ 54+ a =90 2a= 90 − 54 =36 a= 18

Найдём $AD :$

AD = 90− BC = 90− 18= 72.

Проведём высоту $KH$ трапеции $ABCD,$ проходящую через точку $O,$ $K ∈ BC,$ $H ∈ AD.$ Так как $KH$ — высота трапеции, то

KH = BN = CM = 36.

Рассмотрим треугольники $CBO$ и $ADO.$ В них $∠CBD = ∠ADB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD,$ а $∠AOD = ∠COB$ как вертикальные.

Тогда $△ CBO ∼ △ADO$ по двум углам. Значит, отношение их соответственных высот равно коэффициенту подобия, то есть

OK--= BC- = 18= 1 . OH AD 72 4

Пусть $KO = x.$ Тогда $OH = 36− x.$

--x-- 1 36− x = 4 4x = 36− x 5x =36 x = 7,2

Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина $OK,$ то есть 7,2.

Ответ: 7,2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105351Максимум баллов за задание: 2

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 1500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC,$ где $AD > BC.$ Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, то $AB = CD.$ Пусть $AC ∩BD =O.$

$abx53ANHMDBKCO00$

Трапеция $ABCD$ описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника

AB + CD = BC + AD.

По условию периметр трапеции равен 200, то есть

AB + CD + BC + AD = 200 2(AB + CD )= 200 AB + CD = 100

Тогда

AB = CD = 10 =50. 2

Пусть $BC =a,AD =b.$ Тогда

1 a+ b= 2 ⋅200 =100.

Опустим высоты $CM$ и $BN.$ Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то

BC-+-AD-⋅CM = 1500 2 (BC + AD )⋅CM =3000 (a+ b)⋅CM =3000 100 ⋅CM = 3000 CM = 3000 100 CM = 30

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так как $CM ⊥ AD$ и $BN ⊥ AD,$ то $CM ∥BN.$

Рассмотрим четырёхугольник $NBCM.$ В нём $BN ∥ CM$ и $BC ∥ AD$ как основания трапеции, следовательно, $BC ∥NM.$ Тогда $NBCM$ — параллелограмм и $BC = NM$ по свойству параллелограмма.

Рассмотрим треугольники $ABN$ и $DCM.$ В них $AB = CD,$ $∠BAN = ∠CDM$ как углы при основании равнобедренной трапеции, $∠BNA = ∠CMD = 90∘.$ Тогда прямоугольные треугольники $ABN$ и $DCM$ равны по острому углу и гипотенузе. $AN = DM$ как соответственные элементы. В треугольнике $CMD$ по теореме Пифагора

CM2 + MD2 =CD2.

Тогда

∘---------- ∘-------- MD = CD2 − CM2 = 502− 302 = √ --------- √ ---- = 2500 − 900 = 1600 = 40.

Следовательно, $AN = MD = 40.$

Значит,

b= AN + MN +MD = = 40+ MN + 40 = 80+ BC = 80+ a.

Так как $a+ b= 100,$ то

a+ 80+ a= 100 2a= 100− 80= 20 a= 10

Найдём $AD :$

AD = 100− BC = 100− 10= 90.

Проведём высоту $KH$ трапеции $ABCD,$ проходящую через точку $O,$ $K ∈ BC,$ $H ∈ AD.$ Так как $KH$ — высота трапеции, то

KH = BN = CM = 30.

Рассмотрим треугольники $CBO$ и $ADO.$ В них $∠CBD = ∠ADB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD,$ а $∠AOD = ∠COB$ как вертикальные.

Тогда $△ CBO ∼ △ADO$ по двум углам. Значит, отношение их соответственных высот равно коэффициенту подобия, то есть

OK-= BC-= 10 = 1 OH AD 90 9

Пусть $KO = x.$ Тогда $OH = 30− x.$

--x-- 1 30− x = 9 9x = 30− x 10x = 30 x =3

Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина $OK,$ то есть 3.

Ответ: 3

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105352Максимум баллов за задание: 2

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC,$ где $AD > BC.$ Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, то $AB = CD.$ Пусть $AC ∩BD =O.$

$abx31ANHMDBKCO08$

Трапеция $ABCD$ описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника

AB + CD = BC + AD.

По условию периметр трапеции равен 120, то есть

AB + CD + BC + AD = 120 2(AB + CD )= 120 AB + CD = 60

Тогда

AB = CD = 60 =30. 2

Пусть $BC =a,AD =b.$ Тогда

1 a+ b= 2 ⋅120= 60.

Опустим высоты $CM$ и $BN.$ Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то

BC-+AD--⋅CM =540 2 (BC + AD )⋅CM =1080 (a+ b)⋅CM =1080 60⋅CM = 1080 CM = 1080 60 CM = 18

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так как $CM ⊥ AD$ и $BN ⊥ AD,$ то $CM ∥BN.$

Рассмотрим четырёхугольник $NBCM.$ В нём $BN ∥ CM$ и $BC ∥ AD$ как основания трапеции, следовательно, $BC ∥NM.$ Тогда $NBCM$ — параллелограмм и $BC = NM$ по свойству параллелограмма.

Рассмотрим треугольники $ABN$ и $DCM.$ В них $AB = CD,$ $∠BAN = ∠CDM$ как углы при основании равнобедренной трапеции, $∠BNA = ∠CMD = 90∘.$ Тогда прямоугольные треугольники $ABN$ и $DCM$ равны по острому углу и гипотенузе. $AN = DM$ как соответственные элементы. В треугольнике $CMD$ по теореме Пифагора

CM2 + MD2 =CD2.

Тогда

∘---------- ∘-------- MD = CD2 − CM2 = 302− 182 = √ -------- √ --- = 900 − 324 = 576= 24.

Следовательно, $AN = MD = 24.$

Значит,

b= AN + MN +MD = = 24+ MN + 24 = 48+ BC = 48+ a.

Так как $a+ b= 60,$ то

a+ 48+ a =60 2a= 60 − 48 =12 a =6

Найдём $AD :$

AD = 60 − BC = 60 − 6= 54.

Проведём высоту $KH$ трапеции $ABCD,$ проходящую через точку $O,$ $K ∈ BC,$ $H ∈ AD.$ Так как $KH$ — высота трапеции, то

KH = BN = CM = 18.

Рассмотрим треугольники $CBO$ и $ADO.$ В них $∠CBD = ∠ADB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD,$ а $∠AOD = ∠COB$ как вертикальные.

Тогда $△ CBO ∼ △ADO$ по двум углам. Значит, отношение их соответственных высот равно коэффициенту подобия, то есть

OK--= BC- = 6-= 1 . OH AD 54 9

Пусть $KO = x.$ Тогда $OH = 18− x.$

--x-- 1 18− x = 9 9x = 18− x 10x = 18 x = 1,8

Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина $OK,$ то есть 1,8.

Ответ: 1,8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105353Максимум баллов за задание: 2

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 220, а площадь равна 2420, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC,$ где $AD > BC.$ Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, то $AB = CD.$ Пусть $AC ∩BD =O.$

$abx54ANHMDBKCO54$

Трапеция $ABCD$ описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника

AB + CD = BC + AD.

По условию периметр трапеции равен 220, то есть

AB + CD + BC + AD = 220 2(AB + CD )= 220 AB + CD = 110

Тогда

AB = CD = 110-= 55. 2

Пусть $BC =a,AD =b.$ Тогда

1 a+ b= 2 ⋅220 =110.

Опустим высоты $CM$ и $BN.$ Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то

BC-+-AD-⋅CM = 2420 2 (BC + AD )⋅CM =4840 (a+ b)⋅CM =4840 110 ⋅CM = 4840 CM = 4840 110 CM = 44

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так как $CM ⊥ AD$ и $BN ⊥ AD,$ то $CM ∥BN.$

Рассмотрим четырёхугольник $NBCM.$ В нём $BN ∥ CM$ и $BC ∥ AD$ как основания трапеции, следовательно, $BC ∥NM.$ Тогда $NBCM$ — параллелограмм и $BC = NM$ по свойству параллелограмма.

Рассмотрим треугольники $ABN$ и $DCM.$ В них $AB = CD,$ $∠BAN = ∠CDM$ как углы при основании равнобедренной трапеции, $∠BNA = ∠CMD = 90∘.$ Тогда прямоугольные треугольники $ABN$ и $DCM$ равны по острому углу и гипотенузе. $AN = DM$ как соответственные элементы. В треугольнике $CMD$ по теореме Пифагора

CM2 + MD2 =CD2.

∘---------- ∘-------- MD = CD2 − CM2 = 552− 442 = √---------- √---- = 3025− 1936= 1089= 33.

Следовательно, $AN = MD = 33.$

Значит,

b= AN + MN +MD = = 33+ MN + 33 = 66+ BC = 66+ a.

Так как $a+ b= 110,$ то

a+ 66+ a= 110 2a= 110− 66= 44 a= 22

Найдём $AD :$

AD = 110− BC = 110− 22= 88.

Проведём высоту $KH$ трапеции $ABCD,$ проходящую через точку $O,$ $K ∈ BC,$ $H ∈ AD.$ Так как $KH$ — высота трапеции, то

KH = BN = CM = 44.

Рассмотрим треугольники $CBO$ и $ADO.$ В них $∠CBD = ∠ADB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD,$ а $∠AOD = ∠COB$ как вертикальные.

Тогда $△ CBO ∼ △ADO$ по двум углам. Значит, отношение их соответственных высот равно коэффициенту подобия, то есть

OK--= BC- = 22= 1 . OH AD 88 4

Пусть $KO = x.$ Тогда $OH = 44− x.$

--x-- 1 44− x = 4 4x = 44− x 5x =44 x = 8,8

Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина $OK,$ то есть 8,8.

Ответ: 8,8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105355Максимум баллов за задание: 2

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC,$ где $AD > BC.$ Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, то $AB = CD.$ Пусть $AC ∩BD =O.$

$abx21ANHMDBKCO06$

Трапеция $ABCD$ описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника

AB + CD = BC + AD.

По условию периметр трапеции равен 80, то есть

AB + CD + BC + AD = 80 2(AB + CD) =80 AB + CD = 40

Тогда

AB = CD = 40 =20. 2

Пусть $BC =a,AD =b.$ Тогда

1 a+ b= 2 ⋅80 =40.

Опустим высоты $CM$ и $BN.$ Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то

BC-+AD--⋅CM =320 2 (BC +AD )⋅CM = 640 (a + b)⋅CM = 640 40 ⋅CM = 640 CM = 640- 40 CM = 16

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так как $CM ⊥ AD$ и $BN ⊥ AD,$ то $CM ∥BN.$

Рассмотрим четырёхугольник $NBCM.$ В нём $BN ∥ CM$ и $BC ∥ AD$ как основания трапеции, следовательно, $BC ∥NM.$ Тогда $NBCM$ — параллелограмм и $BC = NM$ по свойству параллелограмма.

Рассмотрим треугольники $ABN$ и $DCM.$ В них $AB = CD,$ $∠BAN = ∠CDM$ как углы при основании равнобедренной трапеции, $∠BNA = ∠CMD = 90∘.$ Тогда прямоугольные треугольники $ABN$ и $DCM$ равны по острому углу и гипотенузе. $AN = DM$ как соответственные элементы. В треугольнике $CMD$ по теореме Пифагора

CM2 + MD2 =CD2.

Тогда

∘---------- ∘-------- MD = CD2 − CM2 = 202− 162 = √ -------- √ --- = 400 − 256 = 144= 12.

Следовательно, $AN = MD = 12.$

Значит,

b= AN + MN +MD = = 12+ MN + 12 = 24+ BC = 24+ a.

Так как $a+ b= 40,$ то

a+ 24+ a =40 2a= 40 − 24 =16 a =8

Найдём $AD :$

AD = 40 − BC = 40 − 8= 32.

Проведём высоту $KH$ трапеции $ABCD,$ проходящую через точку $O,$ $K ∈ BC,$ $H ∈ AD.$ Так как $KH$ — высота трапеции, то

KH = BN = CM = 16.

Рассмотрим треугольники $CBO$ и $ADO.$ В них $∠CBD = ∠ADB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD,$ а $∠AOD = ∠COB$ как вертикальные.

Тогда $△ CBO ∼ △ADO$ по двум углам. Значит, отношение их соответственных высот равно коэффициенту подобия, то есть

OK--= BC- = 8-= 1 . OH AD 32 4

Пусть $KO = x.$ Тогда $OH = 16− x.$

--x-- 1 16− x = 4 4x = 16− x 5x =16 x = 3,2

Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина $OK,$ то есть 3,2.

Ответ: 3,2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2