№25. Тип 7 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#42505

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC.$ Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E.$ Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD,$ если $AD =8,$ $BC =7.$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 27

Показать ответ и решение

Способ 1.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

$ABCDEH$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Проведем отрезки $EC$ и $ED.$

$∠ECD$ — вписанный и опирается на дугу $DE,$ $∠AED$ — угол между касательной $EA$ и хордой $DE,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠ECD =∠AED.$

Так как $EH ⊥CD,$ $AE ⊥ AD,$ то

∠EAD = 90∘ = ∠EHC.

Тогда $△ AED ∼ △HCE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

HE-= CE-. AD ED

$∠CDE$ — вписанный и опирается на дугу $EC,$ $∠BEC$ — угол между касательной $EB$ и хордой $EC,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠CDE =∠BEC.$

Так как $EH ⊥CD,$ $BE ⊥ BC,$ то $∠EBC = 90∘ = ∠EHD.$

Тогда $△ BEC ∼ △HDE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

CE-= BC-. ED HE

По доказанному ранее:

BC- = HE- ⇒ HE2 = BC ⋅AD. HE AD

Тогда

HE = √BC-⋅AD- =√7-⋅8= 2√14.

Способ 2.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

Продлим стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $O.$

$ABDEHOCx$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Рассмотрим треугольники $BOC$ и $AOD.$ В них $∠OBC = 90∘ = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

OC- BC- 7 8 OD = AD = 8 ⇒ OD = 7OC.

Пусть $OC =x.$ Тогда $8 OD = 7x.$

По теореме о секущей $OD$ и касательной $OE :$

OE2 =OC ⋅OD = x⋅ 8x = 8x2 7 7 ∘ 2- OE = 2 7x

Рассмотрим треугольники $EOH$ и $DOA.$ В них $∘ ∠OHE = 90 = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $EOH$ и $DOA$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

EH-= OE-. AD OD

Тогда

∘-- 8 ⋅2 2 x √ - √ -- EH = AD-⋅OE-= -----7--= 8-⋅2√2⋅7 = 2 14. OD 87x 8⋅ 7

Ответ:

$√ -- 2 14$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#27825

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC.$ Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E.$ Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD,$ если $AD = 8,$ $BC =4.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

$ABCDEH$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Проведем отрезки $EC$ и $ED.$

$∠ECD$ — вписанный и опирается на дугу $DE,$ $∠AED$ — угол между касательной $EA$ и хордой $DE,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠ECD =∠AED.$

Так как $EH ⊥CD,$ $AE ⊥ AD,$ то

∠EAD = 90∘ = ∠EHC.

Тогда $△ AED ∼ △HCE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

HE-= CE-. AD ED

$∠CDE$ — вписанный и опирается на дугу $EC,$ $∠BEC$ — угол между касательной $EB$ и хордой $EC,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠CDE =∠BEC.$

Так как $EH ⊥CD,$ $BE ⊥ BC,$ то $∠EBC = 90∘ = ∠EHD.$

Тогда $△ BEC ∼ △HDE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

CE-= BC-. ED HE

По доказанному ранее:

BC- = HE- ⇒ HE2 = BC ⋅AD. HE AD

Тогда

HE = √BC--⋅AD-= √8-⋅4= 4√2.

Способ 2.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

Продлим стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $O.$

$ABDEHOCx$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Рассмотрим треугольники $BOC$ и $AOD.$ В них $∠OBC = 90∘ = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

-OC = BC- = 4= 1 ⇒ OD = 2OC. OD AD 8 2

Пусть $OC =x.$ Тогда $OD = 2x.$

По теореме о секущей $OD$ и касательной $OE :$

2 2 OE = OC ⋅OD = x ⋅2x = 2x OE = √2x

Рассмотрим треугольники $EOH$ и $DOA.$ В них $∠OHE = 90∘ = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $EOH$ и $DOA$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

EH- OE- AD = OD .

Тогда

√ - EH = AD-⋅OE- = 8⋅--2x-= 4√2. OD 2x

Ответ:

$√ - 4 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#43942

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC.$ Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E.$ Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD,$ если $AD =6,$ $BC =5.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

$ABCDEH$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Проведем отрезки $EC$ и $ED.$

$∠ECD$ — вписанный и опирается на дугу $DE,$ $∠AED$ — угол между касательной $EA$ и хордой $DE,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠ECD =∠AED.$

Так как $EH ⊥CD,$ $AE ⊥ AD,$ то

∠EAD = 90∘ = ∠EHC.

Тогда $△ AED ∼ △HCE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

HE-= CE-. AD ED

$∠CDE$ — вписанный и опирается на дугу $EC,$ $∠BEC$ — угол между касательной $EB$ и хордой $EC,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠CDE =∠BEC.$

Так как $EH ⊥CD,$ $BE ⊥ BC,$ то $∠EBC = 90∘ = ∠EHD.$

Тогда $△ BEC ∼ △HDE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

CE-= BC-. ED HE

По доказанному ранее:

BC- = HE- ⇒ HE2 = BC ⋅AD. HE AD

Тогда

HE = √BC--⋅AD-= √5-⋅6= √30.

Способ 2.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

Продлим стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $O.$

$ABDEHOCx$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Рассмотрим треугольники $BOC$ и $AOD.$ В них $∠OBC = 90∘ = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

OC- = BC-= 5 ⇒ OD = 6OC. OD AD 6 5

Пусть $OC =x.$ Тогда $6 OD = 5x.$

По теореме о секущей $OD$ и касательной $OE :$

OE2 =OC ⋅OD = x⋅ 6x = 6x2 ∘-- 5 5 6 OE = 5x

Рассмотрим треугольники $EOH$ и $DOA.$ В них $∘ ∠OHE = 90 = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $EOH$ и $DOA$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

EH-= OE-. AD OD

Тогда

∘ -- 6⋅ 6x √- √ -- EH = AD-⋅OE- = ----5--= 6⋅-6√-⋅5= 30. OD 65x 6⋅ 5

Ответ:

$√ -- 30$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#55905

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC.$ Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E.$ Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD,$ если $AD =4,$ $BC =2.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

$ABCDEH$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Проведем отрезки $EC$ и $ED.$

$∠ECD$ — вписанный и опирается на дугу $DE,$ $∠AED$ — угол между касательной $EA$ и хордой $DE,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠ECD =∠AED.$

Так как $EH ⊥CD,$ $AE ⊥ AD,$ то

∠EAD = 90∘ = ∠EHC.

Тогда $△ AED ∼ △HCE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

HE-= CE-. AD ED

$∠CDE$ — вписанный и опирается на дугу $EC,$ $∠BEC$ — угол между касательной $EB$ и хордой $EC,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠CDE =∠BEC.$

Так как $EH ⊥CD,$ $BE ⊥ BC,$ то $∘ ∠EBC = 90 = ∠EHD.$

Тогда $△ BEC ∼ △HDE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

CE-= BC-. ED HE

По доказанному ранее:

BC HE 2 HE- = AD- ⇒ HE = BC ⋅AD.

Тогда

HE = √BC--⋅AD-= √2-⋅4= 2√2.

Способ 2.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

Продлим стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $O.$

$ABDEHOCx$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Рассмотрим треугольники $BOC$ и $AOD.$ В них $∠OBC = 90∘ = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

-OC BC- 2 1 OD = AD = 4 = 2 ⇒ OD = 2OC.

Пусть $OC =x.$ Тогда $OD = 2x.$

По теореме о секущей $OD$ и касательной $OE :$

2 2 OE = OC ⋅OD = x ⋅2x = 2x OE = √2x

Рассмотрим треугольники $EOH$ и $DOA.$ В них $∠OHE = 90∘ = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $EOH$ и $DOA$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

EH- OE- AD = OD .

Тогда

√ - EH = AD-⋅OE- = 4⋅--2x-= 2√2. OD 2x

Ответ:

$√ - 2 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#56384

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC.$ Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E.$ Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD,$ если $AD =14,$ $BC =12.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

$ABCDEH$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Проведем отрезки $EC$ и $ED.$

$∠ECD$ — вписанный и опирается на дугу $DE,$ $∠AED$ — угол между касательной $EA$ и хордой $DE,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠ECD =∠AED.$

Так как $EH ⊥CD,$ $AE ⊥ AD,$ то

∠EAD = 90∘ = ∠EHC.

Тогда $△ AED ∼ △HCE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

HE-= CE-. AD ED

$∠CDE$ — вписанный и опирается на дугу $EC,$ $∠BEC$ — угол между касательной $EB$ и хордой $EC,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠CDE =∠BEC.$

Так как $EH ⊥CD,$ $BE ⊥ BC,$ то $∠EBC = 90∘ = ∠EHD.$

Тогда $△ BEC ∼ △HDE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

CE-= BC-. ED HE

По доказанному ранее:

BC- = HE- ⇒ HE2 = BC ⋅AD. HE AD

Тогда

HE = √BC--⋅AD- = √12⋅14= 2√42.

Способ 2.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

Продлим стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $O.$

$ABDEHOCx$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Рассмотрим треугольники $BOC$ и $AOD.$ В них $∠OBC = 90∘ = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

OC- BC- 12 6 7 OD = AD = 14 = 7 ⇒ OD = 6OC.

Пусть $OC =x.$ Тогда $7 OD = 6x.$

По теореме о секущей $OD$ и касательной $OE :$

OE2 =OC ⋅OD = x⋅ 7x = 7x2 6 6 ∘-7 OE = 6x

Рассмотрим треугольники $EOH$ и $DOA.$ В них $∘ ∠OHE = 90 = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $EOH$ и $DOA$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

EH-= OE-. AD OD

Тогда

∘-- 14 ⋅ 7 x √ - √ -- EH = AD-⋅OE-= -----6--= 14-⋅√7⋅6 = 2 42. OD 76x 7⋅ 6

Ответ:

$√ -- 2 42$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105356

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC.$ Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E.$ Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD,$ если $AD =20,$ $BC =10.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

$ABCDEH$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Проведем отрезки $EC$ и $ED.$

$∠ECD$ — вписанный и опирается на дугу $DE,$ $∠AED$ — угол между касательной $EA$ и хордой $DE,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠ECD =∠AED.$

Так как $EH ⊥CD,$ $AE ⊥ AD,$ то

∠EAD = 90∘ = ∠EHC.

Тогда $△ AED ∼ △HCE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

HE-= CE-. AD ED

$∠CDE$ — вписанный и опирается на дугу $EC,$ $∠BEC$ — угол между касательной $EB$ и хордой $EC,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠CDE =∠BEC.$

Так как $EH ⊥CD,$ $BE ⊥ BC,$ то $∘ ∠EBC = 90 = ∠EHD.$

Тогда $△ BEC ∼ △HDE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

CE-= BC-. ED HE

По доказанному ранее:

BC HE 2 HE- = AD- ⇒ HE = BC ⋅AD.

Тогда

HE = √BC--⋅AD- = √10⋅20= 10√2.

Способ 2.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

Продлим стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $O.$

$ABDEHOCx$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Рассмотрим треугольники $BOC$ и $AOD.$ В них $∠OBC = 90∘ = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

OC- = BC-= 10 = 1 ⇒ OD = 2OC. OD AD 20 2

Пусть $OC =x.$ Тогда $OD = 2x.$

По теореме о секущей $OD$ и касательной $OE :$

2 2 OE = OC ⋅OD = x ⋅2x = 2x OE = √2x

Рассмотрим треугольники $EOH$ и $DOA.$ В них $∠OHE = 90∘ = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $EOH$ и $DOA$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

EH- OE- AD = OD .

Тогда

√ - EH = AD--⋅OE- = 20⋅--2x-= 10√2. OD 2x

Ответ:

$√- 10 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105357

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC.$ Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E.$ Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD,$ если $AD =12,$ $BC =9.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

$ABCDEH$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Проведем отрезки $EC$ и $ED.$

$∠ECD$ — вписанный и опирается на дугу $DE,$ $∠AED$ — угол между касательной $EA$ и хордой $DE,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠ECD =∠AED.$

Так как $EH ⊥CD,$ $AE ⊥ AD,$ то

∠EAD = 90∘ = ∠EHC.

Тогда $△ AED ∼ △HCE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

HE-= CE-. AD ED

$∠CDE$ — вписанный и опирается на дугу $EC,$ $∠BEC$ — угол между касательной $EB$ и хордой $EC,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠CDE =∠BEC.$

Так как $EH ⊥CD,$ $BE ⊥ BC,$ то $∠EBC = 90∘ = ∠EHD.$

Тогда $△ BEC ∼ △HDE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

CE-= BC-. ED HE

По доказанному ранее:

BC- = HE- ⇒ HE2 = BC ⋅AD. HE AD

Тогда

HE = √BC-⋅AD- =√9-⋅12= 6√3.

Способ 2.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

Продлим стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $O.$

$ABDEHOCx$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Рассмотрим треугольники $BOC$ и $AOD.$ В них $∠OBC = 90∘ = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

OC-= BC- = -9 = 3 ⇒ OD = 4OC. OD AD 12 4 3

Пусть $OC =x.$ Тогда $4 OD = 3x.$

По теореме о секущей $OD$ и касательной $OE :$

OE2 =OC ⋅OD = x⋅ 4x = 4x2 3 3 OE = √2-x 3

Рассмотрим треугольники $EOH$ и $DOA.$ В них $∠OHE = 90∘ = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $EOH$ и $DOA$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

EH-= OE-. AD OD

Тогда

2 AD ⋅OE 12⋅√--x 12 ⋅2 ⋅3 √- EH = --OD--- = --4--3-= ---√---= 6 3. 3x 4⋅ 3

Ответ:

$√ - 6 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105358

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC.$ Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E.$ Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD,$ если $AD =12,$ $BC =10.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

$ABCDEH$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Проведем отрезки $EC$ и $ED.$

$∠ECD$ — вписанный и опирается на дугу $DE,$ $∠AED$ — угол между касательной $EA$ и хордой $DE,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠ECD =∠AED.$

Так как $EH ⊥CD,$ $AE ⊥ AD,$ то

∠EAD = 90∘ = ∠EHC.

Тогда $△ AED ∼ △HCE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

HE-= CE-. AD ED

$∠CDE$ — вписанный и опирается на дугу $EC,$ $∠BEC$ — угол между касательной $EB$ и хордой $EC,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠CDE =∠BEC.$

Так как $EH ⊥CD,$ $BE ⊥ BC,$ то $∠EBC = 90∘ = ∠EHD.$

Тогда $△ BEC ∼ △HDE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

CE-= BC-. ED HE

По доказанному ранее:

BC- = HE- ⇒ HE2 = BC ⋅AD. HE AD

Тогда

HE = √BC--⋅AD- = √10⋅12= 2√30.

Способ 2.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

Продлим стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $O.$

$ABDEHOCx$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Рассмотрим треугольники $BOC$ и $AOD.$ В них $∠OBC = 90∘ = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

OC-= BC- = 10 = 5 ⇒ OD = 6OC. OD AD 12 6 5

Пусть $OC =x.$ Тогда $6 OD = 5x.$

По теореме о секущей $OD$ и касательной $OE :$

OE2 =OC ⋅OD = x⋅ 6x = 6x2 √ - 5 5 --6 OE = √5-x

Рассмотрим треугольники $EOH$ и $DOA.$ В них $∘ ∠OHE = 90 = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $EOH$ и $DOA$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

EH-= OE-. AD OD

Тогда

√- 12 ⋅√6x √ ---- √ -- EH = AD-⋅OE- = ----5--= 12⋅--5⋅6 =2 30. OD 6x 6 5

Ответ:

$√ -- 2 30$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105359

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC.$ Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E.$ Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD,$ если $AD =20,$ $BC =15.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

$ABCDEH$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Проведем отрезки $EC$ и $ED.$

$∠ECD$ — вписанный и опирается на дугу $DE,$ $∠AED$ — угол между касательной $EA$ и хордой $DE,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠ECD =∠AED.$

Так как $EH ⊥CD,$ $AE ⊥ AD,$ то

∠EAD = 90∘ = ∠EHC.

Тогда $△ AED ∼ △HCE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

HE-= CE-. AD ED

$∠CDE$ — вписанный и опирается на дугу $EC,$ $∠BEC$ — угол между касательной $EB$ и хордой $EC,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠CDE =∠BEC.$

Так как $EH ⊥CD,$ $BE ⊥ BC,$ то $∠EBC = 90∘ = ∠EHD.$

Тогда $△ BEC ∼ △HDE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

CE-= BC-. ED HE

По доказанному ранее:

BC- = HE- ⇒ HE2 = BC ⋅AD. HE AD

Тогда

HE = √BC--⋅AD- = √15⋅20= 10√3.

Способ 2.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

Продлим стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $O.$

$ABDEHOCx$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Рассмотрим треугольники $BOC$ и $AOD.$ В них $∠OBC = 90∘ = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

OC-= BC- = 15 = 3 ⇒ OD = 4OC. OD AD 20 4 3

Пусть $OC =x.$ Тогда $4 OD = 3x.$

По теореме о секущей $OD$ и касательной $OE :$

OE2 =OC ⋅OD = x⋅ 4x = 4x2 3 3 OE = √2-x 3

Рассмотрим треугольники $EOH$ и $DOA.$ В них $∠OHE = 90∘ = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $EOH$ и $DOA$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

EH-= OE-. AD OD

Тогда

2 AD ⋅OE 20 ⋅√-x 20⋅2⋅3 √ - EH = --OD---= ---4-3- = ---√---= 10 3. 3x 4⋅ 3

Ответ:

$√- 10 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105360

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC.$ Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E.$ Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD,$ если $AD =14,$ $BC =7.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

$ABCDEH$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Проведем отрезки $EC$ и $ED.$

$∠ECD$ — вписанный и опирается на дугу $DE,$ $∠AED$ — угол между касательной $EA$ и хордой $DE,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠ECD =∠AED.$

Так как $EH ⊥CD,$ $AE ⊥ AD,$ то

∠EAD = 90∘ = ∠EHC.

Тогда $△ AED ∼ △HCE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

HE-= CE-. AD ED

$∠CDE$ — вписанный и опирается на дугу $EC,$ $∠BEC$ — угол между касательной $EB$ и хордой $EC,$ следовательно, по теореме о угле между касательной и хордой $∠CDE =∠BEC.$

Так как $EH ⊥CD,$ $BE ⊥ BC,$ то $∘ ∠EBC = 90 = ∠EHD.$

Тогда $△ BEC ∼ △HDE$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

CE-= BC-. ED HE

По доказанному ранее:

BC HE 2 HE- = AD- ⇒ HE = BC ⋅AD.

Тогда

HE = √BC-⋅AD- =√7-⋅14= 7√2.

Способ 2.

Проведём отрезок $EH ⊥CD.$ Тогда $EH$ — искомое расстояние.

Продлим стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $O.$

$ABDEHOCx$

Так как $AB ⊥ BC,$ то $ABCD$ — прямоугольная трапеция. Следовательно, $AB ⊥ AD.$

Рассмотрим треугольники $BOC$ и $AOD.$ В них $∠OBC = 90∘ = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

OC- = BC-= -7 = 1 ⇒ OD = 2OC. OD AD 14 2

Пусть $OC =x.$ Тогда $OD = 2x.$

По теореме о секущей $OD$ и касательной $OE :$

2 2 OE = OC ⋅OD = x ⋅2x = 2x OE = √2x

Рассмотрим треугольники $EOH$ и $DOA.$ В них $∠OHE = 90∘ = ∠OAD,$ $∠O$ — общий. Поэтому треугольники $EOH$ и $DOA$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

EH- OE- AD = OD .

Тогда

√ - EH = AD-⋅OE-= 14-⋅-2x =7√2. OD 2x

Ответ:

$√ - 7 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2