08 №25. Тип 8 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#55284Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 36,$ $AC = 54,$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC.$ Прямая $BD,$ перпендикулярная прямой $AO,$ пересекает сторону $AC$ в точке $D.$ Найдите $CD.$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 21

Показать ответ и решение

Продлим $AO$ до пересечения с описанной окружностью треугольника $ABC.$ Обозначим полученную точку за $E.$

$35ABCEDKO64$

Пусть $BD ∩AO = K.$ Так как $BD ⊥AO,$ то

∠AKB = ∠AKD = 90∘.

Проведём $BE$ и $CE.$ Так как $∠ABE$ и $∠ACE$ — вписанные и опираются на диаметр $AE,$ то

∠ABE = ∠ACE = 90∘.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $AEB.$ У них $∠A$ — общий, $∠AKB = ∠ABE = 90∘.$ Тогда треугольники $ABK$ и $AEB$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AB AK 2 AE- = AB- ⇒ AK ⋅AE =AB .

Рассмотрим треугольники $AKD$ и $ACE.$ У них $∠A$ — общий, $∘ ∠AKD = ∠ACE = 90 .$ Тогда треугольники $AKD$ и $ACE$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AK- = AD- ⇒ AK ⋅AE = AC ⋅AD. AC AE

Получили:

AB2 = AK ⋅AE = AC ⋅AD 2 AB = AC ⋅AD

Тогда

AB2- 362- 4⋅9⋅4-⋅9- AD = AC = 54 = 54 = 4⋅9-⋅4-⋅9 = 9⋅3 ⋅2 = 24.

Найдём $CD :$

CD = AC − AD = 54− 24 = 30.

Ответ: 30

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#47408Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 12,$ $AC = 72,$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC.$ Прямая $BD,$ перпендикулярная прямой $AO,$ пересекает сторону $AC$ в точке $D.$ Найдите $CD.$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 22

Показать ответ и решение

Продлим $AO$ до пересечения с описанной окружностью треугольника $ABC.$ Обозначим полученную точку за $E.$

$17ABCEDKO22$

Пусть $BD ∩AO = K.$ Так как $BD ⊥AO,$ то

∠AKB = ∠AKD = 90∘.

Проведём $BE$ и $CE.$ Так как $∠ABE$ и $∠ACE$ — вписанные и опираются на диаметр $AE,$ то

∠ABE = ∠ACE = 90∘.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $AEB.$ У них $∠A$ — общий, $∠AKB = ∠ABE = 90∘.$ Тогда треугольники $ABK$ и $AEB$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AB AK 2 AE- = AB- ⇒ AK ⋅AE =AB .

Рассмотрим треугольники $AKD$ и $ACE.$ У них $∠A$ — общий, $∘ ∠AKD = ∠ACE = 90 .$ Тогда треугольники $AKD$ и $ACE$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AK- = AD- ⇒ AK ⋅AE = AC ⋅AD. AC AE

Получили:

AB2 = AK ⋅AE = AC ⋅AD 2 AB = AC ⋅AD

Тогда

AB2- 122- 4⋅3⋅4-⋅3- AD = AC = 72 = 72 = 4⋅3⋅4⋅3- = 3⋅3⋅4⋅2 =2.

Найдём $CD :$

CD = AC − AD = 72− 2= 70.

Ответ: 70

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#40208Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 28,$ $AC = 56,$ точка $O$ – центр окружности, описанной около треугольника $ABC.$ Прямая $BD,$ перпендикулярная прямой $AO,$ пересекает сторону $AC$ в точке $D.$ Найдите $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Продлим $AO$ до пересечения с описанной окружностью треугольника $ABC.$ Обозначим полученную точку за $E.$

$ABCEDKO2586$

Пусть $BD ∩AO = K.$ Так как $BD ⊥AO,$ то

∠AKB = ∠AKD = 90∘.

Проведём $BE$ и $CE.$ Так как $∠ABE$ и $∠ACE$ — вписанные и опираются на диаметр $AE,$ то

∠ABE = ∠ACE = 90∘.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $AEB.$ У них $∠A$ — общий, $∠AKB = ∠ABE = 90∘.$ Тогда треугольники $ABK$ и $AEB$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AB AK 2 AE- = AB- ⇒ AK ⋅AE =AB .

Рассмотрим треугольники $AKD$ и $ACE.$ У них $∠A$ — общий, $∘ ∠AKD = ∠ACE = 90 .$ Тогда треугольники $AKD$ и $ACE$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AK- = AD- ⇒ AK ⋅AE = AC ⋅AD. AC AE

Получили:

AB2 = AK ⋅AE = AC ⋅AD 2 AB = AC ⋅AD

Тогда

AB2- 282- 7⋅4⋅7-⋅4- AD = AC = 56 = 56 = 7⋅4-⋅7-⋅4 = 8 ⋅7 = 14.

Найдём $CD :$

CD = AC − AD = 56− 14 = 42.

Ответ: 42

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#55904Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 40,$ $AC = 64,$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC.$ Прямая $BD,$ перпендикулярная прямой $AO,$ пересекает сторону $AC$ в точке $D.$ Найдите $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Продлим $AO$ до пересечения с описанной окружностью треугольника $ABC.$ Обозначим полученную точку за $E.$

$46ABCEDKO04$

Пусть $BD ∩AO = K.$ Так как $BD ⊥AO,$ то

∠AKB = ∠AKD = 90∘.

Проведём $BE$ и $CE.$ Так как $∠ABE$ и $∠ACE$ — вписанные и опираются на диаметр $AE,$ то

∠ABE = ∠ACE = 90∘.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $AEB.$ У них $∠A$ — общий, $∠AKB = ∠ABE = 90∘.$ Тогда треугольники $ABK$ и $AEB$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AB AK 2 AE- = AB- ⇒ AK ⋅AE =AB .

Рассмотрим треугольники $AKD$ и $ACE.$ У них $∠A$ — общий, $∘ ∠AKD = ∠ACE = 90 .$ Тогда треугольники $AKD$ и $ACE$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AK- = AD- ⇒ AK ⋅AE = AC ⋅AD. AC AE

Получили:

AB2 = AK ⋅AE = AC ⋅AD 2 AB = AC ⋅AD

Тогда

AB2- 402 10⋅4⋅10⋅4- AD = AC = 64 = 64 = 5⋅2⋅4-⋅5-⋅2⋅4 = 4⋅4 ⋅4 = 25.

Найдём $CD :$

CD = AC − AD = 64− 25 = 39.

Ответ: 39

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#56383Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 84,$ $AC = 98,$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC.$ Прямая $BD,$ перпендикулярная прямой $AO,$ пересекает сторону $AC$ в точке $D.$ Найдите $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Продлим $AO$ до пересечения с описанной окружностью треугольника $ABC.$ Обозначим полученную точку за $E.$

$ABCEDKO8948$

Пусть $BD ∩AO = K.$ Так как $BD ⊥AO,$ то

∠AKB = ∠AKD = 90∘.

Проведём $BE$ и $CE.$ Так как $∠ABE$ и $∠ACE$ — вписанные и опираются на диаметр $AE,$ то

∠ABE = ∠ACE = 90∘.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $AEB.$ У них $∠A$ — общий, $∠AKB = ∠ABE = 90∘.$ Тогда треугольники $ABK$ и $AEB$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AB AK 2 AE- = AB- ⇒ AK ⋅AE =AB .

Рассмотрим треугольники $AKD$ и $ACE.$ У них $∠A$ — общий, $∘ ∠AKD = ∠ACE = 90 .$ Тогда треугольники $AKD$ и $ACE$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AK- = AD- ⇒ AK ⋅AE = AC ⋅AD. AC AE

Получили:

AB2 = AK ⋅AE = AC ⋅AD 2 AB = AC ⋅AD

Тогда

AB2- 842 42⋅2⋅42⋅2- AD = AC = 98 = 98 = 6⋅7⋅2-⋅6-⋅7⋅2 = 7⋅7 ⋅2 = 72.

Найдём $CD :$

CD = AC − AD = 98− 72 = 26.

Ответ: 26

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105361Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 15,$ $AC = 25,$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC.$ Прямая $BD,$ перпендикулярная прямой $AO,$ пересекает сторону $AC$ в точке $D.$ Найдите $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Продлим $AO$ до пересечения с описанной окружностью треугольника $ABC.$ Обозначим полученную точку за $E.$

$12ABCEDKO55$

Пусть $BD ∩AO = K.$ Так как $BD ⊥AO,$ то

∠AKB = ∠AKD = 90∘.

Проведём $BE$ и $CE.$ Так как $∠ABE$ и $∠ACE$ — вписанные и опираются на диаметр $AE,$ то

∠ABE = ∠ACE = 90∘.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $AEB.$ У них $∠A$ — общий, $∠AKB = ∠ABE = 90∘.$ Тогда треугольники $ABK$ и $AEB$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AB AK 2 AE- = AB- ⇒ AK ⋅AE =AB .

Рассмотрим треугольники $AKD$ и $ACE.$ У них $∠A$ — общий, $∘ ∠AKD = ∠ACE = 90 .$ Тогда треугольники $AKD$ и $ACE$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AK- = AD- ⇒ AK ⋅AE = AC ⋅AD. AC AE

Получили:

AB2 = AK ⋅AE = AC ⋅AD 2 AB = AC ⋅AD

Тогда

AB2- 152- 5⋅3⋅5-⋅3- AD = AC = 25 = 25 = 5⋅3⋅5⋅3- = 5⋅5 =9.

Найдём $CD :$

CD = AC − AD = 25− 9= 16.

Ответ: 16

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105362Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 18,$ $AC = 36,$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC.$ Прямая $BD,$ перпендикулярная прямой $AO,$ пересекает сторону $AC$ в точке $D.$ Найдите $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Продлим $AO$ до пересечения с описанной окружностью треугольника $ABC.$ Обозначим полученную точку за $E.$

$ABCEDKO1386$

Пусть $BD ∩AO = K.$ Так как $BD ⊥AO,$ то

∠AKB = ∠AKD = 90∘.

Проведём $BE$ и $CE.$ Так как $∠ABE$ и $∠ACE$ — вписанные и опираются на диаметр $AE,$ то

∠ABE = ∠ACE = 90∘.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $AEB.$ У них $∠A$ — общий, $∠AKB = ∠ABE = 90∘.$ Тогда треугольники $ABK$ и $AEB$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AB AK 2 AE- = AB- ⇒ AK ⋅AE =AB .

Рассмотрим треугольники $AKD$ и $ACE.$ У них $∠A$ — общий, $∘ ∠AKD = ∠ACE = 90 .$ Тогда треугольники $AKD$ и $ACE$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AK- = AD- ⇒ AK ⋅AE = AC ⋅AD. AC AE

Получили:

AB2 = AK ⋅AE = AC ⋅AD 2 AB = AC ⋅AD

Тогда

AB2- 182- 6⋅3⋅6-⋅3- AD = AC = 36 = 36 = 6⋅3⋅6⋅3- = 6⋅6 =9.

Найдём $CD :$

CD = AC − AD = 36− 9= 27.

Ответ: 27

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105363Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 60,$ $AC = 80,$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC.$ Прямая $BD,$ перпендикулярная прямой $AO,$ пересекает сторону $AC$ в точке $D.$ Найдите $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Продлим $AO$ до пересечения с описанной окружностью треугольника $ABC.$ Обозначим полученную точку за $E.$

$ABCEDKO6800$

Пусть $BD ∩AO = K.$ Так как $BD ⊥AO,$ то

∠AKB = ∠AKD = 90∘.

Проведём $BE$ и $CE.$ Так как $∠ABE$ и $∠ACE$ — вписанные и опираются на диаметр $AE,$ то

∠ABE = ∠ACE = 90∘.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $AEB.$ У них $∠A$ — общий, $∠AKB = ∠ABE = 90∘.$ Тогда треугольники $ABK$ и $AEB$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AB AK 2 AE- = AB- ⇒ AK ⋅AE =AB .

Рассмотрим треугольники $AKD$ и $ACE.$ У них $∠A$ — общий, $∘ ∠AKD = ∠ACE = 90 .$ Тогда треугольники $AKD$ и $ACE$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AK- = AD- ⇒ AK ⋅AE = AC ⋅AD. AC AE

Получили:

AB2 = AK ⋅AE = AC ⋅AD 2 AB = AC ⋅AD

Тогда

AB2- 602 4⋅15⋅4-⋅15- AD = AC = 80 = 80 = 4⋅5⋅3-⋅4-⋅5⋅3 = 16⋅5 = 45.

Найдём $CD :$

CD = AC − AD = 80− 45 = 35.

Ответ: 35

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105364Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 14,$ $AC = 98,$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC.$ Прямая $BD,$ перпендикулярная прямой $AO,$ пересекает сторону $AC$ в точке $D.$ Найдите $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Продлим $AO$ до пересечения с описанной окружностью треугольника $ABC.$ Обозначим полученную точку за $E.$

$19ABCEDKO48$

Пусть $BD ∩AO = K.$ Так как $BD ⊥AO,$ то

∠AKB = ∠AKD = 90∘.

Проведём $BE$ и $CE.$ Так как $∠ABE$ и $∠ACE$ — вписанные и опираются на диаметр $AE,$ то

∠ABE = ∠ACE = 90∘.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $AEB.$ У них $∠A$ — общий, $∠AKB = ∠ABE = 90∘.$ Тогда треугольники $ABK$ и $AEB$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AB AK 2 AE- = AB- ⇒ AK ⋅AE =AB .

Рассмотрим треугольники $AKD$ и $ACE.$ У них $∠A$ — общий, $∘ ∠AKD = ∠ACE = 90 .$ Тогда треугольники $AKD$ и $ACE$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AK- = AD- ⇒ AK ⋅AE = AC ⋅AD. AC AE

Получили:

AB2 = AK ⋅AE = AC ⋅AD 2 AB = AC ⋅AD

Тогда

AB2- 142- 7⋅2⋅7-⋅2- AD = AC = 98 = 98 = 7⋅2⋅7⋅2- = 7⋅7⋅2 =2.

Найдём $CD :$

CD = AC − AD = 98− 2= 96.

Ответ: 96

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105365Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 30,$ $AC = 100,$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC.$ Прямая $BD,$ перпендикулярная прямой $AO,$ пересекает сторону $AC$ в точке $D.$ Найдите $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Продлим $AO$ до пересечения с описанной окружностью треугольника $ABC.$ Обозначим полученную точку за $E.$

$31ABCEDKO000$

Пусть $BD ∩AO = K.$ Так как $BD ⊥AO,$ то

∠AKB = ∠AKD = 90∘.

Проведём $BE$ и $CE.$ Так как $∠ABE$ и $∠ACE$ — вписанные и опираются на диаметр $AE,$ то

∠ABE = ∠ACE = 90∘.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $AEB.$ У них $∠A$ — общий, $∠AKB = ∠ABE = 90∘.$ Тогда треугольники $ABK$ и $AEB$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AB AK 2 AE- = AB- ⇒ AK ⋅AE =AB .

Рассмотрим треугольники $AKD$ и $ACE.$ У них $∠A$ — общий, $∘ ∠AKD = ∠ACE = 90 .$ Тогда треугольники $AKD$ и $ACE$ подобны по двум углам. Запишем отношения подобия:

AK- = AD- ⇒ AK ⋅AE = AC ⋅AD. AC AE

Получили:

AB2 = AK ⋅AE = AC ⋅AD 2 AB = AC ⋅AD

Тогда

AB2- 302 10⋅3⋅10-⋅3- AD = AC = 100 = 100 = 10⋅3⋅10⋅3- = 10⋅10 =9.

Найдём $CD :$

CD = AC − AD = 100 − 9 = 91.

Ответ: 91

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2