09 №25. Тип 9 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#101782Максимум баллов за задание: 2

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M,$ $AD = 45,$ $MD = 15,$ $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC.$ Найдите $AH.$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 19

Показать ответ и решение

Достроим полуокружность до окружности. Пусть $O$ — центр этой окружности, а $N$ — её точка пересечения со стороной $AC.$ Проведём отрезок $BN.$ Угол $∠BNC$ — вписанный и опирается на диаметр $BC.$ Следовательно, $∠BNC = 90∘,$ то есть $BN$ — высота.

В треугольнике $ABC$ отрезки $BN$ и $AD$ — высоты. Тогда по условию они пересекаются в точке $H.$

$ABCDOMHNP$

Рассмотрим треугольники $AHN$ и $ACD.$ В них $∠ANH =90∘ =∠ADC,$ $∠A$ — общий. Поэтому треугольники $AHN$ и $ACD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AH AN AC-= AD-.

Следовательно,

AH ⋅AD = AN ⋅AC.

Продлим $AD$ до пересечения с окружностью в точке $P.$ Проведём $OM$ и $OP.$ Тогда $OM = OP$ как радиусы, следовательно, треугольник $MOP$ — равнобедренный. Значит, в равнобедренном треугольнике $MOP$ высота $OD,$ проведённая к основанию $MP,$ является медианой, поэтому

MD = P D = 15.

Найдём $AM :$

AM =AD − MD = 45− 15= 30.

Найдём $AP :$

AP =AD +P D = 45+ 15 = 60.

По теореме о двух секущих $AC$ и $AP :$

AN ⋅AC =AM ⋅AP = 30⋅60.

По доказанному ранее

AH ⋅AD = AN ⋅AC = 30⋅60.

Поэтому

AH = 30⋅60 = 30⋅60= 2⋅20 =40. AD 45

Ответ: 40

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#46944Максимум баллов за задание: 2

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M,$ $AD = 80,$ $MD = 64,$ $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC.$ Найдите $AH.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Достроим полуокружность до окружности. Пусть $O$ — центр этой окружности, а $N$ — её точка пересечения со стороной $AC.$ Проведём отрезок $BN.$ Угол $∠BNC$ — вписанный и опирается на диаметр $BC.$ Следовательно, $∠BNC = 90∘,$ то есть $BN$ — высота.

В треугольнике $ABC$ отрезки $BN$ и $AD$ — высоты. Тогда по условию они пересекаются в точке $H.$

$ABCDOMHNP$

Рассмотрим треугольники $AHN$ и $ACD.$ В них $∠ANH =90∘ =∠ADC,$ $∠A$ — общий. Поэтому треугольники $AHN$ и $ACD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AH-= AN-. AC AD

Следовательно,

AH ⋅AD = AN ⋅AC.

Продлим $AD$ до пересечения с окружностью в точке $P.$ Проведём $OM$ и $OP.$ Тогда $OM = OP$ как радиусы, следовательно, треугольник $MOP$ — равнобедренный. Значит, в равнобедренном треугольнике $MOP$ высота $OD,$ проведённая к основанию $MP,$ является медианой, поэтому

MD = P D = 64.

Найдём $AM :$

AM =AD − MD = 80− 64= 16.

Найдём $AP :$

AP = AD + PD = 80+ 64= 144.

По теореме о двух секущих $AC$ и $AP :$

AN ⋅AC = AM ⋅AP =16 ⋅144.

По доказанному ранее

AH ⋅AD = AN ⋅AC =16 ⋅144.

Поэтому

AH = 16⋅144= 16-⋅144 = 2⋅144= 28,8. AD 80 10

Ответ: 28,8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#48406Максимум баллов за задание: 2

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M,$ $AD = 90,$ $MD = 69,$ $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC.$ Найдите $AH.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Достроим полуокружность до окружности. Пусть $O$ — центр этой окружности, а $N$ — её точка пересечения со стороной $AC.$ Проведём отрезок $BN.$ Угол $∠BNC$ — вписанный и опирается на диаметр $BC.$ Следовательно, $∠BNC = 90∘,$ то есть $BN$ — высота.

В треугольнике $ABC$ отрезки $BN$ и $AD$ — высоты. Тогда по условию они пересекаются в точке $H.$

$ABCDOMHNP$

Рассмотрим треугольники $AHN$ и $ACD.$ В них $∘ ∠ANH =90 =∠ADC,$ $∠A$ — общий. Поэтому треугольники $AHN$ и $ACD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AH-= AN-. AC AD

Следовательно,

AH ⋅AD = AN ⋅AC.

Продлим $AD$ до пересечения с окружностью в точке $P.$ Проведём $OM$ и $OP.$ Тогда $OM = OP$ как радиусы, следовательно, треугольник $MOP$ — равнобедренный. Значит, в равнобедренном треугольнике $MOP$ высота $OD,$ проведённая к основанию $MP,$ является медианой, поэтому

MD = P D = 69.

Найдём $AM :$

AM =AD − MD = 90− 69= 21.

Найдём $AP :$

AP = AD + PD = 90+ 69= 159.

По теореме о двух секущих $AC$ и $AP :$

AN ⋅AC = AM ⋅AP =21 ⋅159.

По доказанному ранее

AH ⋅AD = AN ⋅AC =21 ⋅159.

Поэтому

AH = 21-⋅159 = 21⋅159= 7-⋅53 = 37,1. AD 90 10

Ответ: 37,1

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#55906Максимум баллов за задание: 2

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M,$ $AD = 15,$ $MD = 12,$ $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC.$ Найдите $AH.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Достроим полуокружность до окружности. Пусть $O$ — центр этой окружности, а $N$ — её точка пересечения со стороной $AC.$ Проведём отрезок $BN.$ Угол $∠BNC$ — вписанный и опирается на диаметр $BC.$ Следовательно, $∠BNC = 90∘,$ то есть $BN$ — высота.

В треугольнике $ABC$ отрезки $BN$ и $AD$ — высоты. Тогда по условию они пересекаются в точке $H.$

$ABCDOMHNP$

Рассмотрим треугольники $AHN$ и $ACD.$ В них $∠ANH =90∘ =∠ADC,$ $∠A$ — общий. Поэтому треугольники $AHN$ и $ACD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AH-= AN-. AC AD

Следовательно,

AH ⋅AD = AN ⋅AC.

Продлим $AD$ до пересечения с окружностью в точке $P.$ Проведём $OM$ и $OP.$ Тогда $OM = OP$ как радиусы, следовательно, треугольник $MOP$ — равнобедренный. Значит, в равнобедренном треугольнике $MOP$ высота $OD,$ проведённая к основанию $MP,$ является медианой, поэтому

MD = P D = 12.

Найдём $AM :$

AM = AD − MD = 15 − 12 = 3.

Найдём $AP :$

AP =AD +P D = 15+ 12 = 27.

По теореме о двух секущих $AC$ и $AP :$

AN ⋅AC = AM ⋅AP = 3 ⋅27.

По доказанному ранее

AH ⋅AD = AN ⋅AC = 3 ⋅27.

Поэтому

AH = 3⋅27= 3-⋅27 = 27 =5,4. AD 15 5

Ответ: 5,4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#56385Максимум баллов за задание: 2

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M,$ $AD = 49,$ $MD = 42,$ $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC.$ Найдите $AH.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Достроим полуокружность до окружности. Пусть $O$ — центр этой окружности, а $N$ — её точка пересечения со стороной $AC.$ Проведём отрезок $BN.$ Угол $∠BNC$ — вписанный и опирается на диаметр $BC.$ Следовательно, $∠BNC = 90∘,$ то есть $BN$ — высота.

В треугольнике $ABC$ отрезки $BN$ и $AD$ — высоты. Тогда по условию они пересекаются в точке $H.$

$ABCDOMHNP$

Рассмотрим треугольники $AHN$ и $ACD.$ В них $∘ ∠ANH =90 =∠ADC,$ $∠A$ — общий. Поэтому треугольники $AHN$ и $ACD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AH-= AN-. AC AD

Следовательно,

AH ⋅AD = AN ⋅AC.

Продлим $AD$ до пересечения с окружностью в точке $P.$ Проведём $OM$ и $OP.$ Тогда $OM = OP$ как радиусы, следовательно, треугольник $MOP$ — равнобедренный. Значит, в равнобедренном треугольнике $MOP$ высота $OD,$ проведённая к основанию $MP,$ является медианой, поэтому

MD = P D = 42.

Найдём $AM :$

AM = AD − MD = 49 − 42 = 7.

Найдём $AP :$

AP =AD +P D = 49+ 42 = 91.

По теореме о двух секущих $AC$ и $AP :$

AN ⋅AC = AM ⋅AP = 7 ⋅91.

По доказанному ранее

AH ⋅AD = AN ⋅AC = 7 ⋅91.

Поэтому

AH = 7⋅91 = 7⋅91 =13. AD 49

Ответ: 13

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105366Максимум баллов за задание: 2

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M,$ $AD = 9,$ $MD = 6,$ $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC.$ Найдите $AH.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Достроим полуокружность до окружности.Пусть $O$ — центр этой окружности, а $N$ — её точка пересечения со стороной $AC.$ Проведём отрезок $BN.$ Угол $∠BNC$ — вписанный и опирается на диаметр $BC.$ Следовательно, $∠BNC = 90∘,$ то есть $BN$ — высота.

В треугольнике $ABC$ отрезки $BN$ и $AD$ — высоты. Тогда по условию они пересекаются в точке $H.$

$ABCDOMHNP$

Рассмотрим треугольники $AHN$ и $ACD.$ В них $∠ANH =90∘ =∠ADC,$ $∠A$ — общий. Поэтому треугольники $AHN$ и $ACD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AH-= AN-. AC AD

Следовательно,

AH ⋅AD = AN ⋅AC.

Продлим $AD$ до пересечения с окружностью в точке $P.$ Проведём $OM$ и $OP.$ Тогда $OM = OP$ как радиусы, следовательно, треугольник $MOP$ — равнобедренный. Значит, в равнобедренном треугольнике $MOP$ высота $OD,$ проведённая к основанию $MP,$ является медианой, поэтому

MD = PD = 6.

Найдём $AM :$

AM = AD − MD =9 − 6= 3.

Найдём $AP :$

AP = AD +P D = 9+ 6= 15.

По теореме о двух секущих $AC$ и $AP :$

AN ⋅AC = AM ⋅AP = 3 ⋅15.

По доказанному ранее

AH ⋅AD = AN ⋅AC = 3 ⋅15.

Поэтому

AH = 3⋅15= 3-⋅15 = 5. AD 9

Ответ: 5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105367Максимум баллов за задание: 2

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M,$ $AD = 16,$ $MD = 4,$ $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC.$ Найдите $AH.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Достроим полуокружность до окружности. Пусть $O$ — центр этой окружности, а $N$ — её точка пересечения со стороной $AC.$ Проведём отрезок $BN.$ Угол $∠BNC$ — вписанный и опирается на диаметр $BC.$ Следовательно, $∠BNC = 90∘,$ то есть $BN$ — высота.

В треугольнике $ABC$ отрезки $BN$ и $AD$ — высоты. Тогда по условию они пересекаются в точке $H.$

$ABCDOMHNP$

Рассмотрим треугольники $AHN$ и $ACD.$ В них $∠ANH =90∘ =∠ADC,$ $∠A$ — общий. Поэтому треугольники $AHN$ и $ACD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AH AN AC-= AD-.

Следовательно,

AH ⋅AD = AN ⋅AC.

Продлим $AD$ до пересечения с окружностью в точке $P.$ Проведём $OM$ и $OP.$ Тогда $OM = OP$ как радиусы, следовательно, треугольник $MOP$ — равнобедренный. Значит, в равнобедренном треугольнике $MOP$ высота $OD,$ проведённая к основанию $MP,$ является медианой, поэтому

MD = PD = 4.

Найдём $AM :$

AM = AD − MD = 16 − 4= 12.

Найдём $AP :$

AP = AD + PD = 16+ 4= 20.

По теореме о двух секущих $AC$ и $AP :$

AN ⋅AC =AM ⋅AP = 12⋅20.

По доказанному ранее

AH ⋅AD = AN ⋅AC = 12⋅20.

Поэтому

AH = 12⋅20 = 12⋅20= 15. AD 16

Ответ: 15

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105368Максимум баллов за задание: 2

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M,$ $AD = 9,$ $MD = 3,$ $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC.$ Найдите $AH.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Достроим полуокружность до окружности. Пусть $O$ — центр этой окружности, а $N$ — её точка пересечения со стороной $AC.$ Проведём отрезок $BN.$ Угол $∠BNC$ — вписанный и опирается на диаметр $BC.$ Следовательно, $∠BNC = 90∘,$ то есть $BN$ — высота.

В треугольнике $ABC$ отрезки $BN$ и $AD$ — высоты. Тогда по условию они пересекаются в точке $H.$

$ABCDOMHNP$

Рассмотрим треугольники $AHN$ и $ACD.$ В них $∠ANH =90∘ =∠ADC,$ $∠A$ — общий. Поэтому треугольники $AHN$ и $ACD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AH AN AC-= AD-.

Следовательно,

AH ⋅AD = AN ⋅AC.

Продлим $AD$ до пересечения с окружностью в точке $P.$ Проведём $OM$ и $OP.$ Тогда $OM = OP$ как радиусы, следовательно, треугольник $MOP$ — равнобедренный. Значит, в равнобедренном треугольнике $MOP$ высота $OD,$ проведённая к основанию $MP,$ является медианой, поэтому

MD = PD = 3.

Найдём $AM :$

AM = AD − MD =9 − 3= 6.

Найдём $AP :$

AP = AD +P D = 9+ 3= 12.

По теореме о двух секущих $AC$ и $AP :$

AN ⋅AC = AM ⋅AP = 6 ⋅12.

По доказанному ранее

AH ⋅AD = AN ⋅AC = 6 ⋅12.

Поэтому

AH = 6⋅12 = 6⋅12= 2⋅4 = 8. AD 9

Ответ: 8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105369Максимум баллов за задание: 2

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M,$ $AD = 72,$ $MD = 18,$ $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC.$ Найдите $AH.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Достроим полуокружность до окружности. Пусть $O$ — центр этой окружности, а $N$ — её точка пересечения со стороной $AC.$ Проведём отрезок $BN.$ Угол $∠BNC$ — вписанный и опирается на диаметр $BC.$ Следовательно, $∠BNC = 90∘,$ то есть $BN$ — высота.

В треугольнике $ABC$ отрезки $BN$ и $AD$ — высоты. Тогда по условию они пересекаются в точке $H.$

$ABCDOMHNP$

Рассмотрим треугольники $AHN$ и $ACD.$ В них $∠ANH =90∘ =∠ADC,$ $∠A$ — общий. Поэтому треугольники $AHN$ и $ACD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AH AN AC-= AD-.

Следовательно,

AH ⋅AD = AN ⋅AC.

Продлим $AD$ до пересечения с окружностью в точке $P.$ Проведём $OM$ и $OP.$ Тогда $OM = OP$ как радиусы, следовательно, треугольник $MOP$ — равнобедренный. Значит, в равнобедренном треугольнике $MOP$ высота $OD,$ проведённая к основанию $MP,$ является медианой, поэтому

MD = P D = 18.

Найдём $AM :$

AM =AD − MD = 72− 18= 54.

Найдём $AP :$

AP =AD +P D = 72+ 18 = 90.

По теореме о двух секущих $AC$ и $AP :$

AN ⋅AC =AM ⋅AP = 54⋅90.

По доказанному ранее

AH ⋅AD = AN ⋅AC = 54⋅90.

Поэтому

AH = 54⋅90 = 54⋅90= 27-⋅5 = 67,5. AD 72 2

Ответ: 67,5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105370Максимум баллов за задание: 2

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M,$ $AD = 81,$ $MD = 9,$ $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC.$ Найдите $AH.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Достроим полуокружность до окружности. Пусть $O$ — центр этой окружности, а $N$ — её точка пересечения со стороной $AC.$ Проведём отрезок $BN.$ Угол $∠BNC$ — вписанный и опирается на диаметр $BC.$ Следовательно, $∠BNC = 90∘,$ то есть $BN$ — высота.

В треугольнике $ABC$ отрезки $BN$ и $AD$ — высоты. Тогда по условию они пересекаются в точке $H.$

$ABCDOMHNP$

Рассмотрим треугольники $AHN$ и $ACD.$ В них $∠ANH =90∘ =∠ADC,$ $∠A$ — общий. Поэтому треугольники $AHN$ и $ACD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AH AN AC-= AD-.

Следовательно,

AH ⋅AD = AN ⋅AC.

Продлим $AD$ до пересечения с окружностью в точке $P.$ Проведём $OM$ и $OP.$ Тогда $OM = OP$ как радиусы, следовательно, треугольник $MOP$ — равнобедренный. Значит, в равнобедренном треугольнике $MOP$ высота $OD,$ проведённая к основанию $MP,$ является медианой, поэтому

MD = PD = 9.

Найдём $AM :$

AM = AD − MD = 81 − 9= 72.

Найдём $AP :$

AP = AD + PD = 81+ 9= 90.

По теореме о двух секущих $AC$ и $AP :$

AN ⋅AC =AM ⋅AP = 72⋅90.

По доказанному ранее

AH ⋅AD = AN ⋅AC = 72⋅90.

Поэтому

AH = 72⋅90 = 72⋅90= 8⋅10 =80. AD 81

Ответ: 80

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2