15 №25. Тип 15 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105703Максимум баллов за задание: 2

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC.$ Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC.$ Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 13, 6 и 5. Найдите площадь параллелограмма $ABCD.$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 4

Показать ответ и решение

Пусть окружность касается сторон $AC,$ $AB$ и $BC$ в точках $K,$ $P$ и $M$ соответственно.

Пусть $OH ⊥ AD,$ $H ∈AD.$ Тогда $OH$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AD.$ По условию $OH = 6,$ $OA = 13.$

$yyxx1hABCDOMHPK2$

Проведём $OK.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ AC.$ Тогда $OK$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AC.$ Следовательно, $OK = 5$ по условию. Значит, радиус окружности равен 5.

Проведём $OM.$ Тогда $OM = 5$ как радиус окружности. Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OM ⊥ BC.$ Тогда $OM ⊥ BC,$ $OH ⊥ AD,$ $BC ∥ AD,$ следовательно, точки $M,$ $O,$ $H$ лежат на одной прямой и $MH$ — высота параллелограмма. Тогда

MH =OM + OH = 5+ 6 =11.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK.$ По теореме Пифагора

AO2 = AK2 + OK2,

значит,

∘ ---------- ∘------- AK = AO2 − OK2 = 132− 52 = √------- √--- = 169− 25= 144 =12.

Пусть $BP =x,$ $CM =y.$ Так как отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то

$pict$

Тогда

$pict$

Посчитаем площадь треугольника $ABC$ двумя способами. С одной стороны, площадь треугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности. С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Значит,

p ⋅r = 1 ⋅h ⋅BC, 2

где $p$ — полупериметр треугольника $ABC,$ $r$ — радиус его вписанной окружности, $h$ — его высота, проведённая к стороне $BC.$

Найдём полупериметр треугольника $ABC :$

p= AB-+BC--+AC--= 2 (12+-x)+(x-+y)+-(12+-y) = 2 = 2x+ 2y+ 24 = ----2----- =x + y+ 12

Высота в треугольнике $ABC$ — расстояние от точки $A$ до прямой $BC.$ Тогда $h = MH$ как расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC.$ Значит, $h = 11,$ $r = 5,$ а $BC = x+ y,$ поэтому

(x+ y +12)⋅5= 1 ⋅h⋅BC 2 (BC +12)⋅5= 1 ⋅11⋅BC 2 (BC + 12)⋅10 = 11BC 10BC + 120= 11BC BC =120

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому

SABCD = BC ⋅HM = 120⋅11= 1320.

Ответ: 1320

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#50267Максимум баллов за задание: 2

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC.$ Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC.$ Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 25, 15 и 7. Найдите площадь параллелограмма $ABCD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть окружность касается сторон $AC,$ $AB$ и $BC$ в точках $K,$ $P$ и $M$ соответственно.

Пусть $OH ⊥ AD,$ $H ∈AD.$ Тогда $OH$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AD.$ По условию $OH = 15,$ $OA = 25.$

$yyxx2hABCDOMHPK4$

Проведём $OK.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ AC.$ Тогда $OK$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AC.$ Следовательно, $OK = 7$ по условию. Значит, радиус окружности равен 7.

Проведём $OM.$ Тогда $OM = 7$ как радиус окружности. Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OM ⊥ BC.$ Тогда $OM ⊥ BC,$ $OH ⊥ AD,$ $BC ∥ AD,$ следовательно, точки $M,$ $O,$ $H$ лежат на одной прямой и $MH$ — высота параллелограмма. Тогда

MH = OM +OH = 7+ 15= 22.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK.$ По теореме Пифагора

AO2 = AK2 + OK2,

значит,

∘ ---------- ∘------- AK = AO2 − OK2 = 252− 72 = √------- √--- = 625− 49= 576 =24.

Пусть $BP =x,$ $CM =y.$ Так как отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то

$pict$

Тогда

$pict$

Посчитаем площадь треугольника $ABC$ двумя способами. С одной стороны, площадь треугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности. С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Значит,

p ⋅r = 1 ⋅h ⋅BC, 2

где $p$ — полупериметр треугольника $ABC,$ $r$ — радиус его вписанной окружности, $h$ — его высота, проведённая к стороне $BC.$

Найдём полупериметр треугольника $ABC :$

p= AB-+BC--+AC--= 2 (24+-x)+(x-+y)+-(24+-y) = 2 = 2x+ 2y+ 48 = ----2----- =x + y+ 24

Высота в треугольнике $ABC$ — расстояние от точки $A$ до прямой $BC.$ Тогда $h = MH$ как расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC.$ Значит, $h = 22,$ $r = 7,$ а $BC = x+ y,$ поэтому

(x+ y +24)⋅7= 1 ⋅h⋅BC 2 (BC +24)⋅7= 1 ⋅22⋅BC 2 (BC + 24)⋅14 = 22BC 14BC + 336= 22BC 336= 8BC BC = 42

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому

SABCD = BC ⋅HM = 42⋅22= 924.

Ответ: 924

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#50565Максимум баллов за задание: 2

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC.$ Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC.$ Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь параллелограмма $ABCD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть окружность касается сторон $AC,$ $AB$ и $BC$ в точках $K,$ $P$ и $M$ соответственно.

Пусть $OH ⊥ AD,$ $H ∈AD.$ Тогда $OH$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AD.$ По условию $OH = 13,$ $OA = 25.$

$yyxx2hABCDOMHPK4$

Проведём $OK.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ AC.$ Тогда $OK$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AC.$ Следовательно, $OK = 7$ по условию. Значит, радиус окружности равен 7.

Проведём $OM.$ Тогда $OM = 7$ как радиус окружности. Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OM ⊥ BC.$ Тогда $OM ⊥ BC,$ $OH ⊥ AD,$ $BC ∥ AD,$ следовательно, точки $M,$ $O,$ $H$ лежат на одной прямой и $MH$ — высота параллелограмма. Тогда

MH = OM +OH = 7+ 13= 20.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK.$ По теореме Пифагора

AO2 = AK2 + OK2,

значит,

∘ ---------- ∘------- AK = AO2 − OK2 = 252− 72 = √------- √--- = 625− 49= 576 =24.

Пусть $BP =x,$ $CM =y.$ Так как отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то

$pict$

Тогда

$pict$

Посчитаем площадь треугольника $ABC$ двумя способами. С одной стороны, площадь треугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности. С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Значит,

p ⋅r = 1 ⋅h ⋅BC, 2

где $p$ — полупериметр треугольника $ABC,$ $r$ — радиус его вписанной окружности, $h$ — его высота, проведённая к стороне $BC.$

Найдём полупериметр треугольника $ABC :$

p= AB-+BC--+AC--= 2 (24+-x)+(x-+y)+-(24+-y) = 2 = 2x+ 2y+ 48 = ----2----- =x + y+ 24

Высота в треугольнике $ABC$ — расстояние от точки $A$ до прямой $BC.$ Тогда $h = MH$ как расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC.$ Значит, $h = 20,$ $r = 7,$ а $BC = x+ y,$ поэтому

(x+ y +24)⋅7= 1 ⋅h⋅BC 2 (BC +24)⋅7= 1 ⋅20⋅BC 2 (BC + 24)⋅14 = 20BC 14BC + 336= 20BC 336= 6BC BC = 56

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому

SABCD = BC ⋅HM = 56 ⋅20 = 1120.

Ответ: 1120

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#56057Максимум баллов за задание: 2

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC.$ Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC.$ Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма $ABCD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть окружность касается сторон $AC,$ $AB$ и $BC$ в точках $K,$ $P$ и $M$ соответственно.

Пусть $OH ⊥ AD,$ $H ∈AD.$ Тогда $OH$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AD.$ По условию $OH = 4,$ $OA = 5.$

$yyxx4hABCDOMHPK$

Проведём $OK.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ AC.$ Тогда $OK$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AC.$ Следовательно, $OK = 3$ по условию. Значит, радиус окружности равен 3.

Проведём $OM.$ Тогда $OM = 3$ как радиус окружности. Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OM ⊥ BC.$ Тогда $OM ⊥ BC,$ $OH ⊥ AD,$ $BC ∥ AD,$ следовательно, точки $M,$ $O,$ $H$ лежат на одной прямой и $MH$ — высота параллелограмма. Тогда

MH = OM +OH = 3+ 4= 7.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK.$ По теореме Пифагора

AO2 = AK2 + OK2,

значит,

∘ ---------- ∘ ------ AK = AO2 − OK2 = 52− 32 = √ ----- √-- = 25− 9= 16 = 4.

Пусть $BP =x,$ $CM =y.$ Так как отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то

$pict$

Тогда

$pict$

Посчитаем площадь треугольника $ABC$ двумя способами. С одной стороны, площадь треугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности. С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Значит,

p ⋅r = 1 ⋅h ⋅BC, 2

где $p$ — полупериметр треугольника $ABC,$ $r$ — радиус его вписанной окружности, $h$ — его высота, проведённая к стороне $BC.$

Найдём полупериметр треугольника $ABC :$

p= AB-+BC--+AC--= 2 (4+-x)+(x-+y)+-(4+-y) = 2 = 2x+ 2y+ 8 = ----2---- =x + y+ 4

Высота в треугольнике $ABC$ — расстояние от точки $A$ до прямой $BC.$ Тогда $h = MH$ как расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC.$ Значит, $h = 7,$ $r = 3,$ а $BC = x+ y,$ поэтому

(x+ y+ 4)⋅3= 1 ⋅h ⋅BC 2 (BC + 4)⋅3= 1 ⋅7⋅BC 2 (BC + 4)⋅6= 7BC 6BC + 24= 7BC BC = 24

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому

SABCD =BC ⋅HM =24 ⋅7 = 168.

Ответ:

168

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#56390Максимум баллов за задание: 2

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC.$ Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC.$ Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 13, 8 и 5. Найдите площадь параллелограмма $ABCD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть окружность касается сторон $AC,$ $AB$ и $BC$ в точках $K,$ $P$ и $M$ соответственно.

Пусть $OH ⊥ AD,$ $H ∈AD.$ Тогда $OH$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AD.$ По условию $OH = 8,$ $OA = 13.$

$yyxx1hABCDOMHPK2$

Проведём $OK.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ AC.$ Тогда $OK$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AC.$ Следовательно, $OK = 5$ по условию. Значит, радиус окружности равен 5.

Проведём $OM.$ Тогда $OM = 5$ как радиус окружности. Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OM ⊥ BC.$ Тогда $OM ⊥ BC,$ $OH ⊥ AD,$ $BC ∥ AD,$ следовательно, точки $M,$ $O,$ $H$ лежат на одной прямой и $MH$ — высота параллелограмма. Тогда

MH =OM + OH = 5+ 8 =13.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK.$ По теореме Пифагора

AO2 = AK2 + OK2,

значит,

∘ ---------- ∘------- AK = AO2 − OK2 = 132− 52 = √------- √--- = 169− 25= 144 =12.

Пусть $BP =x,$ $CM =y.$ Так как отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то

$pict$

Тогда

$pict$

Посчитаем площадь треугольника $ABC$ двумя способами. С одной стороны, площадь треугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности. С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Значит,

p ⋅r = 1 ⋅h ⋅BC, 2

где $p$ — полупериметр треугольника $ABC,$ $r$ — радиус его вписанной окружности, $h$ — его высота, проведённая к стороне $BC.$

Найдём полупериметр треугольника $ABC :$

p= AB-+BC--+AC--= 2 (12+-x)+(x-+y)+-(12+-y) = 2 = 2x+ 2y+ 24 = ----2----- =x + y+ 12

Высота в треугольнике $ABC$ — расстояние от точки $A$ до прямой $BC.$ Тогда $h = MH$ как расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC.$ Значит, $h = 13,$ $r = 5,$ а $BC = x+ y,$ поэтому

(x+ y +12)⋅5= 1 ⋅h⋅BC 2 (BC +12)⋅5= 1 ⋅13⋅BC 2 (BC + 12)⋅10 = 13BC 10BC + 120= 13BC 120= 3BC BC = 40

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому

SABCD = BC ⋅HM = 40⋅13= 520.

Ответ: 520

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105700Максимум баллов за задание: 2

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC.$ Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC.$ Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 25, 14 и 7. Найдите площадь параллелограмма $ABCD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть окружность касается сторон $AC,$ $AB$ и $BC$ в точках $K,$ $P$ и $M$ соответственно.

Пусть $OH ⊥ AD,$ $H ∈AD.$ Тогда $OH$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AD.$ По условию $OH = 14,$ $OA = 25.$

$yyxx2hABCDOMHPK4$

Проведём $OK.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ AC.$ Тогда $OK$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AC.$ Следовательно, $OK = 7$ по условию. Значит, радиус окружности равен 7.

Проведём $OM.$ Тогда $OM = 7$ как радиус окружности. Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OM ⊥ BC.$ Тогда $OM ⊥ BC,$ $OH ⊥ AD,$ $BC ∥ AD,$ следовательно, точки $M,$ $O,$ $H$ лежат на одной прямой и $MH$ — высота параллелограмма. Тогда

MH = OM +OH = 7+ 14= 21.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK.$ По теореме Пифагора

AO2 = AK2 + OK2,

значит,

∘ ---------- ∘------- AK = AO2 − OK2 = 252− 72 = √------- √--- = 625− 49= 576 =24.

Пусть $BP =x,$ $CM =y.$ Так как отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то

$pict$

Тогда

$pict$

Посчитаем площадь треугольника $ABC$ двумя способами. С одной стороны, площадь треугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности. С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Значит,

p ⋅r = 1 ⋅h ⋅BC, 2

где $p$ — полупериметр треугольника $ABC,$ $r$ — радиус его вписанной окружности, $h$ — его высота, проведённая к стороне $BC.$

Найдём полупериметр треугольника $ABC :$

p= AB-+BC--+AC--= 2 (24+-x)+(x-+y)+-(24+-y) = 2 = 2x+ 2y+ 48 = ----2----- =x + y+ 24

Высота в треугольнике $ABC$ — расстояние от точки $A$ до прямой $BC.$ Тогда $h = MH$ как расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC.$ Значит, $h = 21,$ $r = 7,$ а $BC = x+ y,$ поэтому

(x+ y +24)⋅7= 1 ⋅h⋅BC 2 (BC +24)⋅7= 1 ⋅21⋅BC 2 (BC + 24)⋅14 = 21BC 14BC + 336= 21BC 336= 7BC BC = 48

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому

SABCD = BC ⋅HM = 48 ⋅21 = 1008.

Ответ: 1008

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105701Максимум баллов за задание: 2

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC.$ Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC.$ Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 13, 7 и 5. Найдите площадь параллелограмма $ABCD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть окружность касается сторон $AC,$ $AB$ и $BC$ в точках $K,$ $P$ и $M$ соответственно.

Пусть $OH ⊥ AD,$ $H ∈AD.$ Тогда $OH$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AD.$ По условию $OH = 7,$ $OA = 13.$

$yyxx1hABCDOMHPK2$

Проведём $OK.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ AC.$ Тогда $OK$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AC.$ Следовательно, $OK = 5$ по условию. Значит, радиус окружности равен 5.

Проведём $OM.$ Тогда $OM = 5$ как радиус окружности. Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OM ⊥ BC.$ Тогда $OM ⊥ BC,$ $OH ⊥ AD,$ $BC ∥ AD,$ следовательно, точки $M,$ $O,$ $H$ лежат на одной прямой и $MH$ — высота параллелограмма. Тогда

MH =OM + OH = 5+ 7 =12.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK.$ По теореме Пифагора

AO2 = AK2 + OK2,

значит,

∘ ---------- ∘------- AK = AO2 − OK2 = 132− 52 = √------- √--- = 169− 25= 144 =12.

Пусть $BP =x,$ $CM =y.$ Так как отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то

$pict$

Тогда

$pict$

Посчитаем площадь треугольника $ABC$ двумя способами. С одной стороны, площадь треугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности. С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Значит,

p ⋅r = 1 ⋅h ⋅BC, 2

где $p$ — полупериметр треугольника $ABC,$ $r$ — радиус его вписанной окружности, $h$ — его высота, проведённая к стороне $BC.$

Найдём полупериметр треугольника $ABC :$

p= AB-+BC--+AC--= 2 (12+-x)+(x-+y)+-(12+-y) = 2 = 2x+ 2y+ 24 = ----2----- =x + y+ 12

Высота в треугольнике $ABC$ — расстояние от точки $A$ до прямой $BC.$ Тогда $h = MH$ как расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC.$ Значит, $h = 12,$ $r = 5,$ а $BC = x+ y,$ поэтому

(x+ y +12)⋅5= 1 ⋅h⋅BC 2 (BC +12)⋅5= 1 ⋅12⋅BC 2 (BC + 12)⋅10 = 12BC 10BC + 120= 12BC 120= 2BC BC = 60

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому

SABCD = BC ⋅HM = 60⋅12= 720.

Ответ: 720

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105702Максимум баллов за задание: 2

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC.$ Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC.$ Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 13, 9 и 5. Найдите площадь параллелограмма $ABCD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть окружность касается сторон $AC,$ $AB$ и $BC$ в точках $K,$ $P$ и $M$ соответственно.

Пусть $OH ⊥ AD,$ $H ∈AD.$ Тогда $OH$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AD.$ По условию $OH = 9,$ $OA = 13.$

$yyxx1hABCDOMHPK2$

Проведём $OK.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ AC.$ Тогда $OK$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AC.$ Следовательно, $OK = 5$ по условию. Значит, радиус окружности равен 5.

Проведём $OM.$ Тогда $OM = 5$ как радиус окружности. Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OM ⊥ BC.$ Тогда $OM ⊥ BC,$ $OH ⊥ AD,$ $BC ∥ AD,$ следовательно, точки $M,$ $O,$ $H$ лежат на одной прямой и $MH$ — высота параллелограмма. Тогда

MH =OM + OH = 5+ 9 =14.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK.$ По теореме Пифагора

AO2 = AK2 + OK2,

значит,

∘ ---------- ∘------- AK = AO2 − OK2 = 132− 52 = √------- √--- = 169− 25= 144 =12.

Пусть $BP =x,$ $CM =y.$ Так как отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то

$pict$

Тогда

$pict$

Посчитаем площадь треугольника $ABC$ двумя способами. С одной стороны, площадь треугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности. С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Значит,

p ⋅r = 1 ⋅h ⋅BC, 2

где $p$ — полупериметр треугольника $ABC,$ $r$ — радиус его вписанной окружности, $h$ — его высота, проведённая к стороне $BC.$

Найдём полупериметр треугольника $ABC :$

p= AB-+BC--+AC--= 2 (12+-x)+(x-+y)+-(12+-y) = 2 = 2x+ 2y+ 24 = ----2----- =x + y+ 12

Высота в треугольнике $ABC$ — расстояние от точки $A$ до прямой $BC.$ Тогда $h = MH$ как расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC.$ Значит, $h = 14,$ $r = 5,$ а $BC = x+ y,$ поэтому

(x+ y +12)⋅5= 1 ⋅h⋅BC 2 (BC +12)⋅5= 1 ⋅14⋅BC 2 (BC + 12)⋅10 = 14BC 10BC + 120= 14BC 120= 4BC BC = 30

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому

SABCD = BC ⋅HM = 30⋅14= 420.

Ответ: 420

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105704Максимум баллов за задание: 2

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC.$ Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC.$ Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 25, 19 и 7. Найдите площадь параллелограмма $ABCD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть окружность касается сторон $AC,$ $AB$ и $BC$ в точках $K,$ $P$ и $M$ соответственно.

Пусть $OH ⊥ AD,$ $H ∈AD.$ Тогда $OH$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AD.$ По условию $OH = 19,$ $OA = 25.$

$yyxx2hABCDOMHPK4$

Проведём $OK.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ AC.$ Тогда $OK$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AC.$ Следовательно, $OK = 7$ по условию. Значит, радиус окружности равен 7.

Проведём $OM.$ Тогда $OM = 7$ как радиус окружности. Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OM ⊥ BC.$ Тогда $OM ⊥ BC,$ $OH ⊥ AD,$ $BC ∥ AD,$ следовательно, точки $M,$ $O,$ $H$ лежат на одной прямой и $MH$ — высота параллелограмма. Тогда

MH = OM +OH = 7+ 19= 26.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK.$ По теореме Пифагора

AO2 = AK2 + OK2,

значит,

∘ ---------- ∘------- AK = AO2 − OK2 = 252− 72 = √------- √--- = 625− 49= 576 =24.

Пусть $BP =x,$ $CM =y.$ Так как отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то

$pict$

Тогда

$pict$

Посчитаем площадь треугольника $ABC$ двумя способами. С одной стороны, площадь треугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности. С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Значит,

p ⋅r = 1 ⋅h ⋅BC, 2

где $p$ — полупериметр треугольника $ABC,$ $r$ — радиус его вписанной окружности, $h$ — его высота, проведённая к стороне $BC.$

Найдём полупериметр треугольника $ABC :$

p= AB-+BC--+AC--= 2 (24+-x)+(x-+y)+-(24+-y) = 2 = 2x+ 2y+ 48 = ----2----- =x + y+ 24

Высота в треугольнике $ABC$ — расстояние от точки $A$ до прямой $BC.$ Тогда $h = MH$ как расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC.$ Значит, $h = 26,$ $r = 7,$ а $BC = x+ y,$ поэтому

(x+ y +24)⋅7= 1 ⋅h⋅BC 2 (BC +24)⋅7= 1 ⋅26⋅BC 2 (BC + 24)⋅14 = 26BC 14BC + 336= 26BC 336 =12BC BC = 28

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому

SABCD = BC ⋅HM = 28⋅26= 728.

Ответ: 728

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105705Максимум баллов за задание: 2

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC.$ Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC.$ Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 25, 17 и 7. Найдите площадь параллелограмма $ABCD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть окружность касается сторон $AC,$ $AB$ и $BC$ в точках $K,$ $P$ и $M$ соответственно.

Пусть $OH ⊥ AD,$ $H ∈AD.$ Тогда $OH$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AD.$ По условию $OH = 17,$ $OA = 25.$

$yyxx2hABCDOMHPK4$

Проведём $OK.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ AC.$ Тогда $OK$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AC.$ Следовательно, $OK = 7$ по условию. Значит, радиус окружности равен 7.

Проведём $OM.$ Тогда $OM = 7$ как радиус окружности. Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OM ⊥ BC.$ Тогда $OM ⊥ BC,$ $OH ⊥ AD,$ $BC ∥ AD,$ следовательно, точки $M,$ $O,$ $H$ лежат на одной прямой и $MH$ — высота параллелограмма. Тогда

MH = OM +OH = 7+ 17= 24.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK.$ По теореме Пифагора

AO2 = AK2 + OK2,

значит,

∘ ---------- ∘------- AK = AO2 − OK2 = 252− 72 = √------- √--- = 625− 49= 576 =24.

Пусть $BP =x,$ $CM =y.$ Так как отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то

$pict$

Тогда

$pict$

Посчитаем площадь треугольника $ABC$ двумя способами. С одной стороны, площадь треугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности. С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Значит,

p ⋅r = 1 ⋅h ⋅BC, 2

где $p$ — полупериметр треугольника $ABC,$ $r$ — радиус его вписанной окружности, $h$ — его высота, проведённая к стороне $BC.$

Найдём полупериметр треугольника $ABC :$

p= AB-+BC--+AC--= 2 (24+-x)+(x-+y)+-(24+-y) = 2 = 2x+ 2y+ 48 = ----2----- =x + y+ 24

Высота в треугольнике $ABC$ — расстояние от точки $A$ до прямой $BC.$ Тогда $h = MH$ как расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC.$ Значит, $h = 24,$ $r = 7,$ а $BC = x+ y,$ поэтому

(x+ y +24)⋅7= 1 ⋅h⋅BC 2 (BC +24)⋅7= 1 ⋅24⋅BC 2 (BC + 24)⋅14 = 24BC 14BC + 336= 24BC 336 =10BC BC = 33,6

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому

SABCD = BC ⋅HM = 33,6⋅24= 806,4.

Ответ: 806,4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2