Задачи повышенного уровня сложности —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#305

У Ильи дома есть часы со стрелками. Илья уходит на работу в 8 часов 00 минут утра. Домой Илья возвращается в 5 часов 30 минут вечера. Сколько раз за время отсутствия Ильи часовая и минутная стрелки успевают поравняться?

Показать ответ и решение

Начиная с 8 часов утра каждый час стрелки успевают поравняться ровно один раз, кроме часа с 12 до 13 часов.

При этом за время с 17 часов до 17 часов 30 минут стрелки успевают поравняться ещё один раз. Итого: $(17 − 8) − 1 + 1 = 9$ раз.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#695

Встретились три друга и сварили кашу. Первый дал две кружки крупы, второй – одну, а у третьего крупы не было, поэтому он “оплатил” свою порцию каши, отдав друзьям $60$ рублей. Кашу ели все поровну. Сколько рублей из этих $60$ должен получить второй друг, если деньги первые два друга решили разделить справедливо?

Показать ответ и решение

Второй друг не должен получить ни копейки, ведь на деле первый друг просто дал кружку крупы третьему другу, а второй друг сам съел всю свою крупу.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#880

Сто шестнадцать одинаковых крокодилов выпивают полный бассейн воды за один день. Каждое утро уборщик проверяет бассейн, и если бассейн не полный, то уборщик доливает в него фиксированное количество воды (всегда одинаковое). Известно, что однажды шесть крокодилов выпили бассейн за двадцать один день. За сколько дней бассейн выпьют два крокодила?

Показать ответ и решение

За $21$ день шесть крокодилов выпили столько же воды, сколько её выпили бы $6 ⋅ 21 = 126$ крокодилов за день (все крокодилы одинаковые). При этом известно, что полный бассейн за день выпивают $116$ крокодилов. Но зачем тогда понадобились ещё $126 − 116 = 10$ крокодилов?

Дело в том, что каждое утро, кроме первого, в бассейн доливали воду. Тогда эти $10$ крокодилов понадобились, чтобы выпить всё то, что долил уборщик (а он доливал воду $21 − 1 = 20$ раз).

Таким образом, уборщик каждое утро доливал $10 : 20 = 0,5$ от суточной нормы одного крокодила. Будем называть долитую уборщиком воду новой, а воду, которая изначально была в бассейне, старой. Можно считать, что один из двух крокодилов каждый день сначала выпивает всю новую воду, а потом принимается за старую.

Посчитаем, сколько старой воды каждый день, кроме первого, выпивают два крокодила вместе. Ответом будет полуторная норма одного крокодила.

В итоге, можно считать, что уборщик воду не доливает, но каждый день (кроме первого) воду пьют не два, а полтора крокодила :) Так как полный бассейн – это $116$ крокодильих норм, то после первого дня на долю полутора крокодилов придётся $116 − 2 = 114$ норм, которые они выпьют за $114 : 1,5 = 76$ дней. Тогда, с учётом первого дня, ответ $76 + 1 = 77$ .

Ответ: 77

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1634

Маша и Даша читают один и тот же роман. Маша за час прочитывает 20 страниц, а Даша – 21. Они одновременно начали читать роман, и Маша закончила читать позже Даши на 10 минут. Сколько страниц в романе?

Показать ответ и решение

Пусть за $t$ часов Даша прочитала роман, тогда

Маша прочитала роман за $1- t + 6$ часов.

Так как количества страниц, прочитанные ими, одинаковы, то:

( ) 1- 10- 21t = 20 t + 6 ⇔ t = 3 часа,

значит, в романе $10- 21 ⋅ 3 = 70$ страниц.

Ответ: 70

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1636

Зарплата учителя каждый год растёт на 2 $%$ по сравнению с предыдущим годом. В 2011 году зарплата учителя составляла 250000 рублей в год. Какой оказалась зарплата учителя за 2014 год? Ответ дайте в рублях.

Показать ответ и решение

Последовательность зарплат в рублях, выплаченных за 2011, 2012 и т.д. года соответственно, представляет собой геометрическую прогрессию.

Её первый член равен 250000. Её четвёртый член $b4 = 250000 ⋅ (1 + 0,02)3 = 265302$ . Таким образом, 265302 рубля составила зарплата учителя за 2014 год.

Ответ: 265302

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#17124

Решите систему уравнений. В качестве ответа запишите выражение $x + y$ . Если система не имеет решений, в ответе укажите $000000$ , если же система имеет бесконечное число решений, укажите $999999$ .

{ 3x − 2y = − 38,5 18x+ 3y = 136,5

Показать ответ и решение

$(| || { { 3x− 2y = − 38,5 ||⋅6 18x− 12y = − 231 |( | ⇔ 18x+ 3y = 136,5 ⇔ Вы чтем из второго уравнения первое 18x+ 3y = 136,5 {18x − 12y = − 231 {18x − 12y = − 231 ⇔ ⇔ ⇔ П одставим полученное значение y в первое уравнение 15y = 367,5 y ={ 24,5 { 18x = 12 ⋅24,5 − 231 x = 3,5 ⇔ y = 24,5 ⇔ y = 24,5$

Таким образом, $x+ y = 24,5 + 3,5 = 28$ .

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#17125

Решите систему уравнений. В качестве ответа запишите выражение $x + y$ . Если система не имеет решений, в ответе укажите $000000$ , если же система имеет бесконечное число решений, укажите $999999$ .

{ x+ 2y = 5 y = − 0,5x+ 1

Показать ответ и решение

${x + 2y = 5 {x +2y = 5 {x + 2y = 5 ⇔ || ⇔ y = − 0,5x + 1 0,5x+ y = 1 | ⋅2 x+ 2y = 2$

Получим, что одно и то же выражение должно равняться одновременно разным числам, чего быть не может. Данная система не имеет решений.

Ответ: 000000

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#17126

Решите систему уравнений. В качестве ответа запишите выражение $7(x+ y + z)$ . Если система не имеет решений, в ответе укажите $000000$ , если же система имеет бесконечное число решений, укажите $999999$ .

( { x + 3y− z = 3 2x− y + 4z = 5 ( 3x +2y + 5z = − 10

Показать ответ и решение

$(| (1) : x+ 3y − z = 3 { (3)− (1)− (2) |( (2) : 2x− y +4z = 5 ⇒ 2z = − 18 ⇔ z = − 9. (3) : 3x+ 2y+ 5z = − 10$

Подставим полученный корень в уравнения $(1)$ и $(2)$ и решим систему относительно $x$ и $y$ :

$| ( {x + 3y− (− 9) = 3 {x + 3y = − 6 || ⋅2 {2x +6y = − 12 {7y = − 53 |{ y = − 53 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 1177 2x − y+ 4 ⋅(− 9) = 5 2x− y = 41 2x − y = 41 2x− y = 41 |( x =--- 7$

Таким образом, $117− 53− 63 7(x + y+ z) = 7-----------= 1 7$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#17127

Решите систему уравнений. В качестве ответа запишите выражение $x2 + y2 + z2$ . Если система не имеет решений, в ответе укажите $− 1$ , если же система имеет бесконечное число решений, укажите $999999$ .

( { 5x − y− z = 0 x + 2y+ 3z = 14 ( 4x+ 3y + 2z = 16

Показать ответ и решение

$(| (1) : 5x− y − z = 0 { { { { { (2)+ (3)− (1) 6y+ 6z = 30 y +z = 5 y+ z = 5 y = 2 |( (2) : x+ 2y +3z = 14 4(2)− (3) ⇒ 5y+ 10z = 40 ⇔ y +2z = 8 ⇔ z = 3 ⇔ z = 3 (3) : 4x+ 3y+ 2z = 16$

Найдём $x$ , подставив полученные значения $y$ и $z$ в уравнение $(2)$ : $x = 14− 3⋅3 − 2⋅2 = 1$ . Тогда $2 2 2 2 2 2 x + y + z = 1 + 2 + 3 = 14$ .

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#36107

Число мест в каждом ряду концертного зала на $4$ больше числа рядов. Сколько рядов в концертном зале, если он вмещает $60$ человек?

Показать ответ и решение

Пусть в концертном зале $x$ рядов. Тогда по условию задачи в каждом ряду $x + 4$ мест. Поскольку всего зал вмещает 60 человек, получим уравнение:

$pict$

Поскольку $x > 0$ , получим, что $x = 6.$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#39633

Возраст корабля сейчас в два раза больше, чем возраст его двигателя тогда, когда возраст корабля был равен возрасту двигателя сейчас. Найдите отношение возраста двигателя сейчас к возрасту корабля сейчас.

Показать ответ и решение

Пусть сейчас возраст корабля составляет $x$ лет, а тогда составлял $y$ лет. Составим таблицу:

|---------|тогда-|сейчас-| |корабль--|--y---|--x---| -двигатель---12x-----y---|

Разница возрастов корабля и двигателя неизменна, поэтому получаем равенство

x− y = y− 1x ⇒ 3x =4y 2

Тогда можем найти отношение возраста двигателя сейчас к возрасту корабля сейчас:

y 3 x = 4 = 0,75

Ответ: 0,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2406

Возраст корабля сейчас в два раза больше, чем возраст его двигателя тогда, когда возраст корабля был равен возрасту двигателя сейчас. Найдите отношение возраста двигателя сейчас к возрасту корабля сейчас.

Показать ответ и решение

Пусть «сейчас» возраст корабля $2x,$ значит, «тогда» возраст двигателя был $x.$ Пусть «тогда» возраст корабля был $y,$ значит, «сейчас» возраст двигателя тоже $y.$

Так как с момента «тогда» до момента «сейчас» и для корабля, и для двигателя прошло одинаковое количество лет, разница между возрастом «сейчас» и «тогда» одинаковая и для корабля, и для двигателя. Следовательно:

2x − y = y− x 3x =2y yx = 32 y-= 3 = 0,75 2x 4

Ответ: 0,75

10.08 Задачи повышенного уровня сложности