.20 №16. Тип 20

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

где — сторона треугольника, — радиус вписанной окружности.

По условию радиус окружности равен Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту

В равностороннем треугольнике углы равны

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

Подставим табличное значение и выразим высоту

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

По условию радиус окружности равен Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника: