1. Системы счисления. Простейшие операции.
Какое целое число от 4 до 8 содержит ровно три единицы в двоичной системе счисления? Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них.
Так как мы ищем наибольшее число, начнем переводить в двоичную систему счисления с конца.
8 = 1000
7 = 111
Итак, мы нашли искомое число, и оно является максимальным среди удовлетворяющих условиям (возможно, и единственное). Значит, оно идет в ответ.
Сколько единиц в двоичной записи числа 37?
Переведем 37 в двоичную систему счисления. Можем сделать это двумя способами: 1) делить на 2 и смотреть на остатки, 2) разложить число на степени двойки.
1) Будем делить 37 на 2 и запоминать остатки от деления. Запись 37 % 2 = 1 означает, что остаток от деления 37 на 2 = 1.
\(\frac{37}{2}\) = 18 + 0,5. Запоминаем 37 % 2 = 1. Дальше делим полученную целую часть.
\(\frac{18}{2}\) = 9. Запоминаем 18 % 2 = 0.
\(\frac{9}{2}\) = 4 + 0,5. Запоминаем 9 % 2 = 1.
\(\frac{4}{2}\) = 2. Запоминаем 4 % 2 = 0.
\(\frac{2}{2}\) = 1. Запоминаем 2 % 2 = 0.
\(\frac{1}{2}\) = 0 + 0,5. Запоминаем 1 % 2 = 1.
Итак, мы запомнили 1, 0, 1, 0, 0, 1. Теперь записываем эти остатки в обратном порядке и получаем нужное число: 100101.
2) Запишем все степени двойки, не превосходящие 37, с соответствующими коэффициентами:
37 = 1 \(\cdot\) \(2^5\) + 0 \(\cdot\) \(2^4\) + 0 \(\cdot\) \(2^3\) + 1 \(\cdot\) \(2^2\) + 0 \(\cdot\) \(2^1\) + 1 \(\cdot\) \(2^0.\)
Теперь запишем эти коэффициенты. Это 100101.
Теперь считаем количество единиц в полученной записи. Это 3.
Сколько единиц в двоичной записи числа 1127?
Переводить делением данное число долго (но пример такого перевода в более легких примерах с маленькими числами), поэтому будем переводить, используя степени двойки.
Запишем 1127 как сумму степеней двойки, начиная со степени, не превосходящей 1127:
\(1127 = 1 \cdot 1024 + 0 \cdot 512 + 0 \cdot 256 + 0 \cdot 128 + 1 \cdot 64 + 1 \cdot 32 + 0 \cdot 16 + 0 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1.\)
Запишем коэффициенты при степенях двойки получим двоичную запись числа: 10001100111.
Посчитаем количество единиц — 6.
Сколько единиц в двоичной записи числа 454?
Переводить делением данное число долго (но пример такого перевода в более легких примерах с маленькими числами), поэтому будем переводить, используя степени двойки.
454 = 1 \(\cdot\) 256 + 1 \(\cdot\) 128 + 1 \(\cdot\) 64 + 0 \(\cdot\) 32 + 0 \(\cdot\) 16 + 0 \(\cdot\) 8 + 1 \(\cdot\) 4 + 1 \(\cdot\) 2 + 0 \(\cdot\) 1.
Запишем коэффициенты при степенях двойки получим двоичную запись числа: 111000110.
Всего единиц 5.
Переведите число 110011 из двоичной системы счисления в десятичную.
Для перевода начинаем считать разряды с нуля справа налево и складывать цифры, умноженные на 2 в степени разряда. То есть 1 \(\cdot\) \(2^0\) + 1 \(\cdot\) \(2^1\) + 0 \(\cdot\) \(2^2\) + 0 \(\cdot\) \(2^3\) + 1 \(\cdot\) \(2^4\) + 1 \(\cdot\) \(2^5\) = 1 + 2 + 16 + 32 = 51.
Сколько нулей в двоичной записи числа 1074?
Переведем 1074 в двоичную систему счисления с помощью степеней двойки. Разложим 1074 на сумму степеней двойки, начиная со степени, не превосходящей 1074:
\(1074 = 1 \cdot 2^{10} + 0 \cdot 2^{9} + 0 \cdot 2^{8} + 0 \cdot 2^{7} + 0 \cdot 2^{6} + 1 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0}.\)
Получаем 10000110010. Нулей 7.
Сколько единиц в двоичной записи числа \(2^{100}+2^{48}+2^{32}+2^{13}+2^7+2+1\)?
В двоичной системе счисления, любое число вида \(2^k\) имеет вид \(100\ldots00_2\), где после единицы идёт ровно \(k\) нулей. Соответственно, сумма \(2^{100}+2^{48}+2^{32}+2^{13}+2^7+2+1\) не создаст переполнения ни в одном разряде, и будет иметь вид \(10..010..010..010..010..11_2\) с единицами ровно на 101, 49, 33, 14, 8, 2 и 1 месте.
