2. Таблицы истинности (страница 3)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \vee y) \wedge (z \rightarrow (\overline x \wedge y))\)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите количество строк, в которых \(F = 1.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
В таблице \(2^3 = 8\) строк.
Рассмотрим, когда функция будет принимать значение 0. Во всех оставшихся строчках функция примет значение 1. Функция будет ложной, если одна из скобок будет ложной. Конъюнкция ложна тогда, когда \(x, \; y\) принимают значение 0. Следовательно, в первой и второй строчках \(F = 0.\) Импликация будет ложной тогда, когда \(z = 1, \; (\overline x \wedge y) = 0.\) Данная конъюнкция будет ложной в случаях \(x = 0, \; y = 0; \; x = 1, \; y = 0; \; x = 1, \; y = 1.\) Следовательно, в шестой и восьмой строчках \(F = 0.\) Строчек, в которых \(F = 1,\) всего 4.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((y \equiv z) \vee (\overline y \wedge x)\)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите количество строк, в которых \(F = 0.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]
В таблице \(2^3 = 8\) строк.
Функция ложна в том случае, когда обе скобки ложны. Первая скобка будет ложной в том случае, если переменные \(y, \; z\) будут иметь разные значения. Предположим, что \(z = 1.\) В этом случае \(y = 0.\) Конъюнкция также должна быть ложной, а для этого необходимо, чтобы \(x = 0.\) Следовательно, во второй строке \(F = 0.\) Если \(z = 0,\) то \(y = 1.\) При этом \(x\) может быть равен как 0, так и 1. Следовательно, в третьей и седьмой строчках \(F = 0.\) Итак, всего три строки.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \wedge y) \equiv (\overline z \equiv x) \)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите количество строк, в которых \(F = 1.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
В таблице \(2^3 = 8\) строк.
\(F = 1\) тогда, когда эквивалентность будет истинной. Рассмотрим, когда первая скобка будет истинной. Она истинна при \(x = 1, \; y = 1.\) При этом вторая скобка тоже должна быть истинной. Так как \(x = 1,\) то \(z = 0.\) Следовательно, в седьмой строке \(F = 1.\) Вторая скобка будет ложной при \(x = 1, \; z = 1.\) Тогда конъюнкция должна быть ложной, а для этого \(y = 0.\) Следовательно, в шестой строке \(F = 1.\) Также вторая скобка будет ложной при \(x = 0, \; z = 0.\) В этом случае \(y\) может быть равен как 0, так и 1. Следовательно, в первой и третьей строчках \(F = 1.\) Всего 4 подходящие строки.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \rightarrow (y \wedge z)) \vee (z \equiv x)\)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите количество строк, в которых \(F = 0.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]
В таблице \(2^3 = 8\) строк.
Для ложности функции импликация должна быть ложной. Для этого \(x = 1, \; (y \wedge z) = 0.\) При этом для ложности эквивалентности \(z, \; x\) должны принимать разные значения. Следовательно, \(z = 0.\) При этом \(y\) может быть равен как 0, так и 1. Следовательно, в пятой и седьмой строчках \(F = 0.\)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \rightarrow y) \wedge (y \rightarrow z)\)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите количество строк, в которых \(F = 1.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]
В таблице \(2^3 = 8\) строк.
Рассмотрим, когда функция будет ложной. Тогда мы поймём, когда функция будет принимать значение 1. \(F\) будет ложной, если \(x = 1, \; y = 0.\) В этом случае \(z\) может быть равен как 0, так и 1. Следовательно, в пятой и шестой строчках \(F = 0.\) Также функция будет ложной, если \(y = 1, \; z = 0.\) При этом \(x\) может быть равен как 0, так и 1. Следовательно, в третьей и седьмой строчках \(F = 0.\) Тогда получим, что строк, в которых \(F = 1\), всего 4.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((\overline x \rightarrow \overline y) \wedge \overline{(z \rightarrow y)}\)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите количество строк, в которых \(F = 1.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Функция будет истинной в том случае, когда обе скобки будут истинны. Вторая скобка будет истинна при \(z = 1, \; y = 0.\) В таком случае \(x\) может быть равен как 0, так и 1. При этом первая скобка будет тоже истинна. Следовательно \(F = 1\) во второй и шестой строчках. Всего 2 таких строчек.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((y \equiv z) \vee (\overline y \wedge x)\)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите количество строк, в которых \(F = 0.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Функция будет ложной, если каждая из скобок будет ложной. Первая скобка будет ложной в двух случаях:
1. \(y = 0, \; z = 1.\) В таком случае для ложности второй скобки \(x = 0;\)
2. \(y = 1, \; z = 0.\) В этом случае для ложности второй скобки \(x\) может быть равен как 0, так и 1.
Следовательно, во второй, третьей и седьмой строчках \(F = 0.\) Всего 3 таких строчек.
