Сложные логические выражения (страница 7)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(((x \vee \overline y) \equiv z) \vee ((x \equiv z) \wedge \overline y)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Рассмотрим вторую строчку данного фрагмента таблицы истинности. Предположим, что второй столбец занимает переменная \(y.\) В таком случае \((x \vee \overline y) = 0, \; z = 0,\) а значит, \((x \vee \overline y) \equiv z = 1.\) Тогда \(F = 1.\) Предположим, что второй столбец занимает переменная \(z.\) Тогда первая скобка будет истинна. Значит второй столбец занят переменной \(x.\)
2. Рассмотрим теперь третью строчку фрагмента. В ней \(x = 1.\) Тогда, если мы посмотрим на первую скобку, то поймём, что в ней \((x \vee \overline y) = 1.\) Чтобы эквивалентность была ложной, переменная \(z\) должна быть равна 0. А это значит, что \(z\) занимает третий столбец. Следовательно, под переменную \(y\) отводится первый столбец.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \rightarrow (z \wedge y)) \vee (z \equiv x)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & ??? & 0 & 0 \\ \hline \text{???} & ??? & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Предположим, что все переменные принимают значение 0. Тогда во второй скобке эквивалентность будет истинной, а значит, и дизъюнкция будет истинной. Следовательно, во второй ячейке первой строки находится 1. Причём данный столбец может занимать либо переменная \(x,\) либо переменная \(z\) (чтобы эквивалентность была ложной). Однако в том случае, когда \(z\) занимает второй столбец, импликация в первой скобке будет истинной, а тогда и \(F = 1.\) Получается, что второй столбец отведен под переменную \(x.\)
2. Для ложности импликации в первой скобке \(x\) должен быть равен 1. Значит, во второй ячейке второй строки находится 1. При этом конъюнкция в первой скобке должна быть ложной, а это значит, что первую ячейку второй строки занимает 0. Исходя из второй скобки мы можем понять, что переменная \(x\) не должна быть равна переменной \(z,\) а значит, переменная \(z\) будет занимать первый столбец. Тогда третий столбец будет занят переменной \(y.\)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((\overline x \wedge y \wedge z) \vee (\overline x \wedge \overline y \wedge z) \vee (\overline x \wedge \overline y \wedge \overline z)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 0 & 0 & 1 \\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 1 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
Третья скобка будет истинна тогда, когда \(x = 0, \; y = 0, \; z = 0.\) Вторая скобка будет истинна тогда, когда \(z = 1, \; x = 0, \; y = 0.\) Следовательно, используя вторую строку, мы поймём, что \(z\) занимает второй столбец. Первая скобка истинна в случае \(x = 0, \; y = 1, \; z = 1.\) Используя третью строку, мы поймём, что \(x\) занимает третий столбец. Это означает, что под переменную \(y\) отведён первый столбец.
