Использование формул сокращенного умножения с квадратами
Найдите значение выражения \(\dfrac{5\cdot(3 - x^2)}{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}\) при тех значениях \(x\), при которых оно имеет смысл.
\[\dfrac{5\cdot(3 - x^2)}{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})} = \dfrac{5\cdot(3 - x^2)}{x^2-(\sqrt{3})^2} = \dfrac{5\cdot(3 - x^2)}{x^2-3} = \dfrac{-5\cdot(x^2 - 3)}{x^2-3} = -5\] – при тех значениях \(x\), при которых знаменатель исходной дроби отличен от 0, то есть, при тех \(x\), при которых исходное выражение имеет смысл.
Найдите значение выражения \[(49a^2-9)\cdot \left(\dfrac1{7a-3}-\dfrac1{7a+3}\right)\]
По формуле \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\) разности квадратов преобразуем: \(49a^2-9=(7a-3)(7a+3)\). Следовательно, выражение при всех \(a\ne -\frac37; \frac37\) можно переписать в виде: \[(7a-3)(7a+3)\cdot \dfrac{7a+3-(7a-3)}{(7a-3)(7a+3)}= (7a-3)(7a+3)\cdot \dfrac6{(7a-3)(7a+3)}=6\]
Найдите значение выражения \((2017^2 - 2015^2)\cdot\dfrac{2}{2\cdot 4032}\).
\[(2017^2 - 2015^2)\cdot\dfrac{2}{2\cdot 4032} = (2017 - 2015)(2017 + 2015)\cdot\dfrac{2}{2\cdot 4032} = 2\cdot 4032\cdot\dfrac{2}{2\cdot 4032} = 2.\]
Найдите значение выражения \(0,001\cdot(1234^2 - 234^2)\).
\[0,001\cdot(1234^2 - 234^2) = \dfrac{1}{1000} \cdot(1234 - 234)(1234 + 234) = \dfrac{1}{1000} \cdot 1000\cdot 1468 = 1468.\]
Найдите значение выражения \((3002^2 - 3000^2)\cdot\dfrac{1}{3001}\).
\[(3002^2 - 3000^2)\cdot\dfrac{1}{3001} = (3002 - 3000)(3002 + 3000)\cdot\dfrac{1}{3001} = 2\cdot 6002\cdot\dfrac{1}{3001} = 2\cdot 2 = 4.\]
Найдите значение выражения \(\dfrac{3\cdot(x^2 - 4)}{(x-2)(x+2)}\) при тех значениях \(x\), при которых оно имеет смысл.
\[\dfrac{3\cdot(x^2 - 4)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{3\cdot (x^2 - 4)}{x^2 - 4} = 3\] – при тех значениях \(x\), при которых знаменатель исходной дроби отличен от 0, то есть, при тех \(x\), при которых исходное выражение имеет смысл.
Найдите значение выражения \((289z^2 - 1) \cdot \left(\dfrac{1}{1 - 17z} + \dfrac{1}{17z + 1}\right)\) при тех значениях \(z\), при которых оно имеет смысл.
Используя формулу для разности квадратов, для тех \(z\), для которых выражение имеет смысл, получим: \[\begin{aligned} &(289z^2 - 1) \cdot \left(\dfrac{1}{1 - 17z} + \dfrac{1}{17z + 1}\right) = (17z - 1)(17z + 1) \cdot \left(\dfrac{1}{1 - 17z} + \dfrac{1}{17z + 1}\right) =\\ &= \dfrac{(17z - 1)(17z + 1)}{1 - 17z} + \dfrac{(17z - 1)(17z + 1)}{17z + 1} = -17z - 1 + 17z - 1 = -2. \end{aligned}\]
