Числовые последовательности

Из данной в условии формулы следует, что \[\begin{aligned} &b_2=-\dfrac1{b_1}=-\dfrac17 \\[1ex] &b_3=-\dfrac1{b_2}=-\dfrac1{-\frac17}=7\\[1ex] &b_4=-\dfrac1{b_3}=-\dfrac17 \\[1ex] &b_5=-\dfrac1{b_4}=7\end{aligned}\]

Ответ 7.

Из данной в условии формулы следует, что \[\begin{aligned} &b_2=-\dfrac3{b_1}=-\dfrac3{-6}=\dfrac12 \\[1ex] &b_3=-\dfrac3{b_2}=-\dfrac3{\frac12}=-6\end{aligned}\]

Ответ -6.

Способ 1.

Перепишем формулу как \(4n^2=7-c_n\). Из этой формулы видно, что левая часть делится на 4, следовательно, и правая часть должна делиться на 4. Отберем те числа (из данных четырех), которые подходят под условие \((7-c_n) \ \vdots \ 4\). Это единственное число \(-57\).
Проверим, действительно ли оно является членом последовательности:
\(4n^2=7-(-57)=64\), откуда \(n^2=16\), откуда \(n=4\) (так как \(n\) – натуральное число). Так как мы действительно получили натуральное \(n\), то \(-57\) является членом последовательности (причем четвертым).

Способ 2.

Данный способ – это та же самая проверка, как и во второй части решения первым способом, но для каждого из данных четырех чисел (без дополнительного отбора с помощью делимости). Этот способ менее предпочтителен тем, что является более долгим.

Перепишем формулу как \(n^2=2-c_n\). Из этой формулы видно, что левая часть является полным квадратом, следовательно, и правая должна быть полным квадратом. Отберем те числа (из данных четырех), которые подходят под это условие. Это единственное число \(1\).
Проверим, действительно ли оно является членом последовательности:
\(n^2=2-1=1\), откуда \(n^2=1\), откуда \(n=1\) (так как \(n\) – натуральное число). Так как мы действительно получили натуральное \(n\), то \(1\) является членом последовательности (причем первым).

Подставим:  

1) \(-\frac{19}{21}=19\cdot \frac{(-1)^n}n\), откуда \(-\frac1{21}=\frac{(-1)^n}n\). Подбором убеждаемся, что подходит \(n=21\).

2) \(\frac{19}{20}=19\cdot \frac{(-1)^n}n\), откуда \(\frac1{20}=\frac{(-1)^n}n\). Тогда \(n=20\).

3) \(-9,5=19\cdot \frac{(-1)^n}n\). Так как \(9,5=\frac{19}{2}\), то \(-\frac{19}{2}=19\cdot \frac{(-1)^n}n\), откуда \(-\frac1{2}=\frac{(-1)^n}n\). Единственное \(n\), которое могло бы подойти – это \(n=2\). Но тогда \((-1)^{2}=1\), а не \(-1\). Следовательно, это и есть число, которое не является членом данной последовательности.

(Для проверки можно также подставить и последнее, четвертое число.)

Подставим:  

1) \(\frac{23}{19}=-23\cdot \frac{(-1)^n}n\), откуда \(\frac1{19}=-\frac{(-1)^n}n\). Подбором убеждаемся, что подходит \(n=19\).

2) \(-\frac{23}{24}=-23\cdot \frac{(-1)^n}n\), откуда \(\frac1{24}=\frac{(-1)^n}n\). Тогда \(n=24\).

3) \(\frac{23}{25}=-23\cdot \frac{(-1)^n}n\), откуда \(\frac1{25}=-\frac{(-1)^n}n\). Тогда \(n=25\).

4) \(11,5=\frac{23}{2}\), следовательно, \(\frac{23}{2}=-23\cdot \frac{(-1)^n}n\), откуда \(\frac1{2}=-\frac{(-1)^n}n\). Единственное \(n\), которое могло бы подойти – это \(n=2\). Но тогда \((-1)^{2}=1\), а не \(-1\). Следовательно, это и есть число, которое не является членом данной последовательности.

Способ 1.

Заметим, что при \(n\geqslant 2\) все \(a_n\) будут положительными, так как \(2n\geqslant 4\), а \(\frac 4n\leqslant 2\). При \(n=1\) получим \(a_1=2-4=-2\). Следовательно, во-первых, число \(-2\) является членом последовательности, а во-вторых, больше отрицательных членов последовательности быть не может, то есть число \(-3\) не является членом последовательности. Ответ 1.

(Чтобы проверкой убедиться в этом, нужно решить \(-3=2n+(-1)^n\cdot \frac 4n\), откуда \(2n^2+3n+4(-1)^n=0\). Дискриминант этого уравнения \(D=9-32(-1)^n\). Следовательно, либо \(D<0\), либо \(D=41\). В первом случае корней нет, во втором случае корни есть, но иррациональные. А нам нужны натуральные корни \(n\).)

Способ 2.

Данный способ – это та же самая проверка, как и во второй части решения первым способом. Этот способ менее предпочтителен тем, что является более долгим.