Кусочно-заданные функции
Постройте график функции \[y=\begin{cases} x^2-10x+25 \quad \text{при } x\geqslant 4,\\ x-2\qquad \text{при }x<4. \end{cases}\]
Определите, при каких значениях \(n\) прямая \(y=n\) имеет с графиком ровно две общие точки.
Рассмотрим \(y=x^2-10x+25\). По формуле квадрата разности данную формулу можно преобразовать в \(y=(x-5)^2\). Следовательно, график этой функции получается из параболы \(y=x^2\), сдвинутой на 5 единиц вправо. Изобразим график этой функции для \(x\geqslant 4\).
Графиком \(y=x-2\) является прямая; он получается сдвигом прямой \(y=x\) на 2 единицы вниз. Изобразим эту прямую для \(x<4\). Получим:
(заметим, что так как \(y=x-2\) определена при \(x<4\), то точка \((4;2)\) на этой прямой будет выколотой)
Прямая \(y=n\) – горизонтальная прямая. Она будет иметь с графиком данной функции 2 точки пересечения, если \(n=0\) (1 точка с прямой, другая – в вершине параболы) и \(n\in(1;2)\) (\(n=1\) не включается, потому что тогда имеем 3 точки пересечения: одна с прямой и две другие с параболой; \(n=2\) не включается, так как на прямой точка \((4;2)\) выколота).
Постройте график функции \[y=\begin{cases} x^2-6x+11 \quad \text{при } x\geqslant 2,\\ x+3\qquad \text{при }x<2. \end{cases}\]
Определите, при каких значениях \(n\) прямая \(y=n\) имеет с графиком три общие точки.
Рассмотрим \(y=x^2-6x+11\). Можно выделить полный квадрат: \(x^2-6x+11=x^2-6x+9+2=(x-3)^2+2\). Следовательно, графиком этой функции является парабола, причем она получается сдвигом параболы \(y=x^2\) на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Изобразим эту параболу для \(x\geqslant 2\).
Графиком \(y=x+3\) является прямая; он получается сдвигом прямой \(y=x\) на 3 единицы вверх. Изобразим эту прямую для \(x<2\). Получим:
(заметим, что так как \(y=x+3\) определена при \(x<2\), то точка \((2;5)\) на этой прямой будет выколотой)
Прямая \(y=n\) – горизонтальная прямая. Она будет иметь с графиком данной функции 3 точки пересечения, если \(n\in(2;3]\) (\(n=2\) не включается, потому что тогда имеем 2 точки пересечения: одна с прямой и одна в вершине параболы; \(n=3\) включается, так как тогда имеем 1 точку пересечения с прямой и 2 с параболой).
Постройте график функции \[y=\begin{cases} -x^2-4x+1 \quad \text{при } x\geqslant -3,\\ -x-2\qquad \text{при }x<-3. \end{cases}\]
Определите, при каких значениях \(n\) прямая \(y=n\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
Рассмотрим \(y=-x^2-4x+1\). Можно выделить полный квадрат: \(-x^2-4x+1=-(x^2+4x+4-4)+1=-(x+2)^2+5\). Следовательно, графиком этой функции является парабола, причем она получается сдвигом параболы \(y=-x^2\) на 2 единицы влево и на 5 единиц вверх. Изобразим эту параболу для \(x\geqslant -3\).
Графиком \(y=-x-2\) является прямая; он получается сдвигом прямой \(y=-x\) на 2 единицы вниз. Изобразим эту прямую для \(x<-3\). Получим:
(заметим, что так как \(y=-x-2\) определена при \(x<-3\), то точка \((-3; 1)\) на этой прямой будет выколотой)
Прямая \(y=n\) – горизонтальная прямая. Она будет иметь с графиком данной функции одну общую точку, если \(n>5\) (\(y=5\) имеет с графиком 2 общие точки, а вот все прямые выше этой имеют с графиком одну общую точку, лежащую на прямой) и если \(n\leqslant 1\) (тогда будет единственная общая точка, лежащая на параболе, причем \(n=1\) включается, так как точка \((-3;1)\) на прямой выколота).
Постройте график функции \[y=\begin{cases} x-4 \quad \text{при } x<3,\\ -1,5x+4,5\qquad \text{при }3\leqslant x\leqslant 4,\\ 1,5x-7,5 \quad \text{при } x>4. \end{cases}\]
Определите, при каких значениях \(n\) прямая \(y=n\) имеет с графиком ровно две общие точки.
Все функции являются линейными, то есть их графиками являются прямые. Получим:
(заметим, что так как \(y=x-4\) определена при \(x<3\), то точка \((3;-1)\) на этой прямой будет выколота; точка \((4;-1,5)\) выколота на прямой \(y=1,5x-7,5\), но закрашена на прямой \(y=-1,5x+4,5\), следовательно, в итоге она будет закрашенной)
Прямая \(y=n\) – горизонтальная прямая. Она будет иметь с графиком две общие точки, если:
1) ее вид будет \(y=-1,5\);
2) \(n\in [-1;0]\). Тогда будут две точки пересечения, одна на отрезке прямой \(y=-1,5x+4,5\), другая на луче прямой \(y=1,5x-7,5\).
Постройте график функции \[y=\begin{cases} 2x-2 \quad \text{при } x<3,\\ -3x+13\qquad \text{при }3\leqslant x\leqslant 4,\\ 1,5x-7 \quad \text{при } x>4. \end{cases}\]
Определите, при каких значениях \(n\) прямая \(y=n\) имеет с графиком ровно три общие точки.
Все функции являются линейными, то есть их графиками являются прямые. Получим:
(заметим, что так как \(y=1,5x-7\) определена при \(x>4\), то точка \((4;-1)\) на этой прямой будет выколота; точка \((3;4)\) выколота на прямой \(y=2x-2\), но закрашена на прямой \(y=-3x+13\), следовательно, в итоге она будет закрашенной)
Прямая \(y=n\) – горизонтальная прямая. Она будет иметь с графиком три общие точки, если \(n\in [1;4)\).
Постройте график функции \[y=\begin{cases} x^2-2x+1 \quad \text{при } x\geqslant -2,\\[2ex] -\dfrac{18}x \quad \text{при } x<-2. \end{cases}\]
Определите, при каких значениях \(n\) прямая \(y=n\) имеет с графиком одну или две общие точки.
Рассмотрим \(y=x^2-2x+1=(x-1)^2\). Графиком этой функции является парабола, которая получается путем сдвига параболы \(y=x^2\) на 1 единицу вправо. Графиком \(y=-\frac{18}x\) является гипербола, находящаяся во 2 и 4 четвертях. Получим:
(так как графики \(y=(x-1)^2\) и \(y=-\frac{18}x\) пересекаются при \(x=-2\), то точка \((-2;9)\) будет закрашенной)
\(y=n\) – горизонтальная прямая. Она будет иметь одну общую точку с графиком кусочно-заданной функции, если \(n=0\) (эта общая точка будет совпадать с вершиной параболы, на гиперболе общих точек не будет, так как \(y=0\) – горизонтальная асимптота данной гиперболы). А также если \(n\geqslant 9\), причем при \(n=9\) будет две общие точки, при \(n>9\) одна общая точка.
