17. Окружность

Вписанная окружность (страница 2)

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела 17. Окружность:

Это старая версия каталога задач

Нажмите для перехода на новую версию

Решаем задачи
Задание 8 #6039

Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен \(\sqrt3\).

Показать решение

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, а \(r\) – радиус вписанной окружности.
Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \(S=\dfrac{3\sqrt3}2a^2\), полупериметр равен \(3a\), тогда \[\dfrac{3\sqrt3}2a^2=3a\cdot \sqrt3\quad\Rightarrow\quad a=2\]

Ответ: 2
Задание 9 #6038

Острый угол ромба равен \(30^\circ\), радиус вписанной в этот ромб окружности равен \(2\). Найдите сторону ромба.

Показать решение

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, а \(r\) – радиус вписанной окружности.
\(S_{\text{ромб}}=S=a^2\cdot \sin\alpha\), где \(a\) – сторона ромба, \(\alpha\) – его угол. Следовательно, \(S=a^2\cdot \frac12=\frac12a^2\). Полупериметр ромба равен \(2a\). Тогда \[\dfrac12a^2=2a\cdot 2\quad\Rightarrow\quad a=8\]

Ответ: 8
Задание 10 #6037

Сторона ромба равна \(1\), острый угол равен \(30^\circ\). Найдите радиус окружности, вписанной в этот ромб.

Показать решение

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, а \(r\) – радиус вписанной окружности.
\(S_{\text{ромб}}=S=a^2\cdot \sin\alpha\), где \(a\) – сторона ромба, \(\alpha\) – его угол. Следовательно, \(S=1^2\cdot \frac12=\frac12\). Полупериметр ромба равен \(2\). Тогда \[r=\dfrac Sp=0,25\]

Ответ: 0,25
Задание 11 #6036

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен \(\dfrac{\sqrt3}6\). Найдите сторону этого треугольника.

Показать решение

1 способ.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Так как треугольник правильный, то его биссектрисы также являются высотами и медианами. Пусть \(H\) – точка касания окружности со стороной \(AB\) (то есть \(OH\) – радиус). Следовательно, \(OH\perp AB\) (как часть высоты) и \(OH=\frac13CH\) (как часть медианы, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины).



Если \(AC=2x\), то \(AH=x\), следовательно, \(CH=\sqrt{4x^2-x^2}=x\sqrt3\), тогда \[\dfrac{\sqrt3}6=OH=\dfrac13\cdot CH=\dfrac{\sqrt3}3x\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad AC=2x=1\]

2 способ.
Площадь правильного треугольника со стороной \(a\) равна \(S=\dfrac{\sqrt3}4a^2\). Тогда по формуле \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, \(r\) – радиус вписанной окружности, имеем: \[\dfrac{\sqrt3}4a^2=\dfrac{3a}2\cdot r\quad\Rightarrow\quad a=2\sqrt3r=1\]

Ответ: 1
Задание 12 #6035

Сторона правильного треугольника равна \(\sqrt3\). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Показать решение

1 способ.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Так как треугольник правильный, то его биссектрисы также являются высотами и медианами. Пусть \(H\) – точка касания окружности со стороной \(AB\) (то есть \(OH\) – радиус). Следовательно, \(OH\perp AB\) (как часть высоты) и \(OH=\frac13CH\) (как часть медианы, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины).



Если \(AC=2x=\sqrt3\), то \(AH=x\), следовательно, \(CH=\sqrt{4x^2-x^2}=x\sqrt3\), тогда \[OH=\dfrac13\cdot CH=\dfrac13\cdot \sqrt3\cdot \dfrac{\sqrt3}2=0,5\]

2 способ.
Площадь правильного треугольника со стороной \(a\) равна \(S=\dfrac{\sqrt3}4a^2\). Тогда по формуле \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, \(r\) – радиус вписанной окружности, имеем: \[r=\dfrac Sp=\dfrac{\frac{\sqrt3}4\cdot (\sqrt3)^2}{0,5(\sqrt3+\sqrt3+\sqrt3)} =0,5\]

Ответ: 0,5
Задание 13 #6034

Около окружности, радиус которой равен \(3\), описан многоугольник, периметр которого равен \(20\). Найдите его площадь.

Показать решение

Так как для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, а \(r\) – радиус вписанной окружности, то \[S=\dfrac{20}2\cdot 3=30\]

Ответ: 30
Задание 14 #6020

В треугольник \(ABC\) вписана окружность с центром в точке \(O\), причем \(\angle BAO=20^\circ\), \(\angle OBA=35^\circ\). Найдите \(\angle BCO\). Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Т.к. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника, то \(AO, BO, CO\) – биссектрисы углов \(A, B, C\) соответственно.



Следовательно, \(\angle A+\angle B+\angle C=2\angle BAO+2\angle ABO+2\angle BCO=180^\circ\), откуда \(\angle BCO=90^\circ -\angle BAO-\angle ABO=90^\circ-20^\circ-35^\circ=35^\circ\).

Ответ: 35
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!