Рациональные уравнения (страница 3)
Найдите корень уравнения \(\dfrac{x + 2}{7 - x} = 0,5x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
ОДЗ: \(x \neq 7\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{x + 2 - 3,5x + 0,5x^2}{7 - x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x + 2 - 3,5x + 0,5x^2 = 0\), что равносильно \(x^2 - 5x + 4 = 0\).
Дискриминант данного уравнения \[D = 25 - 16 = 9 = 3^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = 4, \ x_2 = 1\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 4\) – наибольший корень.
Найдите корень уравнения \(\dfrac{7x + 2}{5 - 3x} = -8x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
ОДЗ: \(x \neq \dfrac{5}{3}\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{7x + 2 + 8x\cdot(5 - 3x)}{5 - 3x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(7x + 2 + 8x\cdot(5 - 3x) = 0\), что равносильно \(24x^2 - 47x - 2 = 0\).
Дискриминант данного уравнения \[D = 2209 + 192 = 2401 = 49^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = 2, \ x_2 = -\dfrac{1}{24}\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 2\) – наибольший корень.
Найдите корень уравнения \(\dfrac{-3 - 5x}{x - 5} = 2x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(x \neq 5\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{-3 - 5x - 2x\cdot(x - 5)}{x - 5} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(-3 - 5x - 2x\cdot(x - 5) = 0\), что равносильно \(2x^2 - 5x + 3 = 0\).
Дискриминант данного уравнения \(D = 1\). Корни квадратного уравнения \(x_1 = 1, \ x_2 = 1,5\) – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 1\) – наименьший корень.
Найдите корень уравнения \(\dfrac{1 - 2x}{\frac{2}{3} + x} = x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(x \neq -\dfrac{2}{3}\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1 - 2x - x\cdot\left(\dfrac{2}{3} + x\right)}{\dfrac{2}{3} + x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \[1 - 2x - x\cdot\left(\dfrac{2}{3} + x\right) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + 2\dfrac{2}{3}x - 1 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + \dfrac83x - 1 = 0.\] Дискриминант данного уравнения \[D = \dfrac{64}{9} + 4 = \left(\dfrac{10}{3}\right)^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = \dfrac{1}{3}, \ x_2 = -3\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = -3\) – наименьший корень.
Найдите корень уравнения \(\dfrac{12 + 0,3x}{1 + 0,1x} = 7\).
ОДЗ: \(x \neq -10\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{12 + 0,3x - 7 - 0,7x}{1 + 0,1x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{-0,4x + 5}{1 + 0,1x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = 12,5\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\dfrac{7 + 24x}{5 + \frac{4}{3}x} = 3\).
ОДЗ: \(x \neq -\dfrac{15}{4}\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{7 + 24x - 15 - 4x}{5 + \frac{4}{3}x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{20x - 8}{5 + \frac{4}{3}x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = 0,4\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\dfrac{7 + 2x}{3 + x} = 3\).
ОДЗ: \(x \neq -3\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{7 + 2x - 3\cdot(3 + x)}{3 + x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{-x - 2}{3 + x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = -2\) – подходит по ОДЗ.
