Задачи на движение по прямой
Два брата пробежали марафон длинной \(42\) километра. Оба брата бежали марафон с постоянной скоростью, причём скорость младшего была на \(1\) км/ч больше, чем скорость старшего, в результате чего он прибыл к финишу на \(1\) час раньше. С какой скоростью бежал старший из братьев? Ответ дайте в км/ч.
Пусть \(v\) км/ч – скорость старшего брата.
Тогда время, за которое старший брат пробежал марафон, равно \[\dfrac{42}{v},\] а время младшего брата \[\dfrac{42}{v + 1}.\]
Так как младший брат пробежал марафон на 1 час быстрее, чем старший, то:
\[\dfrac{42}{v} = \dfrac{42}{v + 1} + 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 42(v + 1) = 42v + v(v + 1)\] – при \(v \neq 0\), \(v \neq -1\), что равносильно \(v^2 + v - 42 = 0\) при \(v \neq 0\), \(v \neq -1\). Откуда находим \(v_1 = 6, \ v_2 = -7\). Таким образом, скорость старшего брата \(6\) км/ч.
Евгений добирался из Москвы до Сочи автостопом. Первые \(20\) км он шёл пешком со скоростью \(4\) км/ч, после чего ехал с первым попутчиком следующие 500 км со скоростью \(100\) км/ч, затем Евгений ехал ещё \(500\) км со вторым попутчиком со скоростью \(125\) км/ч, а оставшиеся \(600\) км он ехал с третьим попутчиком со скоростью \(100\) км/ч. Найдите среднюю скорость Евгения. Ответ дайте в км/ч.
По определению средняя скорость – это отношение всего пути ко времени, затраченному на весь путь. Весь путь Евгения составляет \(20 + 500 + 500 + 600 = 1620\) км.
Время, которое Евгений потратил на этот путь, равно \(20 : 4 + 500 : 100 + 500 : 125 + 600 : 100 = 20\) ч. Тогда средняя скорость Евгения равна \(1620 : 20 = 81\) км/ч.
Борис выехал в город из деревни Борисовка на мопеде со скоростью \(30\) км/ч, но через \(90\) км его мопед сломался и он был вынужден пройти пешком \(10\) км до ближайшей деревни Ивановка. Это расстояние Борис шёл со скоростью \(5\) км/ч. В Ивановке ему посчастливилось взять напрокат велосипед и оставшиеся до города \(65\) км он проехал со скоростью \(13\) км/ч. Найдите среднюю скорость Бориса. Ответ дайте в км/ч.
По определению средняя скорость – это отношение всего пути ко времени, затраченному на весь путь. Весь путь Бориса составляет \(90 + 10 + 65 = 165\) км.
Время, которое Борис потратил на этот путь, равно \(90 : 30 + 10 : 5 + 65 : 13 = 10\) ч. Тогда средняя скорость Бориса равна \(165 : 10 = 16,5\) км/ч.
Из двух городов, расстояние между которыми равно \(840\) км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобилиста. Скорость первого \(70\) км/ч, а скорость второго \(60\) км/ч. Через сколько часов они встретились, если известно, что автомобиль первого автомобилиста сломался на полпути между этими городами и на его починку пришлось потратить час.
Половина расстояния между городами 420 км. Это расстояние первый автомобилист преодолел за 6 часов, а второй автомобилист за 7 часов.
Так как первый сломался на полпути между городами, то через 7 часов после начала движения он также был на полпути между городами, то есть, через 7 часов они встретились.
Два кота одновременно выбегают в одном направлении из одного и того же подъезда. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между котами станет равным 200 метрам?
Первый способ:
Первый кот за час убегает от второго на \(0,5\) км = \(500\) метров, тогда на \(100 = 500 : 5\) метров он убегает от второго кота за \(60 : 5 = 12\) минут. На 200 метров первый кот обгонит второго за \(12 \cdot 2 = 24\) минуты.
Второй способ:
Пусть \(v\) км/ч – скорость второго кота, тогда
\(v + 0,5\) км/ч – скорость первого кота.
Пусть \(t\) ч – время, через которое первый кот обгонит второго на \(200\) м = \(0,2\) км.
\(v\cdot t\) км – расстояние, которое второй кот пробежит за \(t\) часов,
\((v + 0,5)\cdot t\) км – расстояние, которое первый кот пробежит за \(t\) часов, тогда
за \(t\) часов первый кот пробежит больше второго на \((v + 0,5)\cdot t - v\cdot t\) км, откуда
\[(v + 0,5)\cdot t - v\cdot t = 0,2\qquad\Leftrightarrow
\qquad v\cdot t + 0,5t - v\cdot t = 0,2,\] откуда \(t = 0,4\) ч, то есть через \(60 \cdot 0,4 = 24\) минуты расстояние между котами станет равным 200 метрам.
Из пункта А в пункт В вышел турист. Одновременно с этим из пункта В в пункт А выбежал бегун. Турист шёл весь путь с постоянной скоростью. Бегун бежал первую треть пути из А в В со скоростью \(10\) км/ч, а всё оставшееся расстояние со скоростью в два раза большей, чем скорость туриста. Найдите скорость туриста, если до места встречи с бегуном он успел пройти треть пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
Пусть \(S\) км – расстояние между А и В,
\(v\) км/ч – скорость туриста.
Тогда время, которое турист шёл до места встречи, равно \[\dfrac{\frac{1}{3}S}{v},\] время, которое бегун потратил на первую треть пути, равно \[\dfrac{\frac{1}{3}S}{10},\] а время, которое бегун потратил на вторую треть пути (то есть на путь до места встречи), равно \[\dfrac{\frac{1}{3}S}{2v}.\]
Так как турист и бегун начали движение одновременно, то \[\dfrac{\frac{1}{3}S}{v} = \dfrac{\frac{1}{3}S}{10} + \dfrac{\frac{1}{3}S}{2v}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{10S}{30v} = \dfrac{vS}{30v} + \dfrac{5S}{30v},\] откуда получаем \(v = 5\) км/ч.
Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист. Через полчаса после прибытия в B он выехал обратно и одновременно с этим навстречу ему выехал второй мотоциклист из А. Из-за поломки скорость первого мотоциклиста на обратном пути уменьшилась в \(3\) раза по сравнению с первоначальной. Скорость второго мотоциклиста оказалась на \(20\) км/ч больше, чем первоначальная скорость первого. Время, через которое произошла встреча, оказалось в два раза меньше, чем время, которое первый потратил на дорогу из А в В. Найдите скорость второго мотоциклиста в км/ч.
Пусть \(t\) ч – время, которое затратил первый мотоциклист на путь из А в В,
\(v\) км/ч – первоначальная скорость первого мотоциклиста.
Тогда расстояние между пунктами А и В равно \(v \cdot t\) км, расстояние, которое проехал первый мотоциклист из В до места встречи, равно \[\dfrac{1}{3}v \cdot 0,5 t\ \text{км},\] а расстояние, которое проехал второй мотоциклист из А до места встречи, равно \[(v + 20)\cdot 0,5 t\ \text{км}.\]
Так как сумма расстояний, которые они одновременно проехали до места встречи, равна расстоянию от А до В, то
\[vt = \dfrac{1}{3}v \cdot 0,5 t + (v + 20)\cdot 0,5 t\qquad \Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{3}vt = 10t,\] откуда находим \(v = 30\) и, следовательно, скорость второго мотоциклиста равна \(v + 20 = 50\) км/ч.
