Метод интервалов для неравенств
Решите неравенство \(-\dfrac{31}{5x+6}<0\).
Разделим обе части неравенства на \(-31\) (знак неравенства нужно изменить при этом): \[\dfrac1{5x+6}>0\] Заметим, что числитель дроби \(1>0\). Следовательно, дробь будет больше нуля, если и знаменатель будет больше нуля: \(5x+6>0\), откуда \(x>-\frac65\).
Исходное неравенство также можно решить и методом интервалов:
Выбираем знак минус и получаем тот же ответ.
Решите неравенство \(\dfrac{3x^2+1}{5x^2-41x+8}\leqslant 0\).
Заметим, что \(x^2\geqslant 0\) при любом \(x\), следовательно, \(3x^2+1\geqslant 1>0\). Поэтому можно разделить обе части неравенства на положительное выражение “без последствий”. Получим: \[\dfrac{1}{5x^2-41x+8}\leqslant 0\] Отметим корни знаменателя на прямой и решим неравенство методом интервалов:
Следовательно, ответ \(x\in \left(\frac15; 8\right)\).
Решите неравенство \(\dfrac{-13}{(x-4)^2-6}\geqslant 0\).
Числитель дроби \(-13<0\). Следовательно, дробь не равна 0, а больше нуля она тогда, когда и знаменатель \(<0\): \((x-4)^2-6<0\). Отсюда \((x-4)^2<6\), следовательно, \(-\sqrt6<x-4<\sqrt6\). Значит, \(4-\sqrt6<x<4+\sqrt6\).
Неравенство можно было решить и методом интервалов. Для этого найдем нули знаменателя: \((x-4)^2=6\), откуда \(x-4=\pm \sqrt6\) и \(x=4\pm \sqrt6\). Следовательно неравенство можно переписать в виде (дополнительно умножив обе части неравенства на \(-1\)) \[\dfrac{13}{(x-(4+\sqrt6))(x-(4-\sqrt6))}\leqslant 0\] 
Выбираем знак “минус” и получаем тот же ответ.
Решите неравенство \((x-1)^2<\sqrt2(x-1)\).
Перенесем слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель за скобки: \[(x-1)(x-1-\sqrt2)<0\] Решим данное неравенство методом интервалов:
Следовательно, ответ: \(x\in (1;1+\sqrt2)\).
Решите неравенство \((3x-7)^2\geqslant (7x-3)^2\).
Если перенести все в левую часть и воспользоваться формулой разности квадратов, то получим \[(3x-7-(7x-3))(3x-7+(7x-3))\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad (-4x-4)(10x-10)\geqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:
Следовательно, \(x\in [-1;1]\).
