Задачи повышенного уровня сложности

Уравнение можно переписать в виде: \[(x-4)^6=-(x^2-4x+2)^3\quad\Rightarrow\quad \left((x-4)^2\right)^3=(-x^2+4x-2)^3,\] так как \(-t^3=(-t)^3\) и \(\alpha^6=(\alpha^2)^3\).
Следовательно, уравнение принимает вид \(a^3=b^3\). Так как кубы двух выражений равны тогда и только тогда, когда равны сами выражения, то уравнение равносильно \[\begin{aligned} &(x-4)^2=-x^2+4x-2\quad\Rightarrow\\ &2x^2-12x+18=0\quad\Rightarrow\\ &x^2-6x+9=0 \quad\Rightarrow\\ &(x-3)^2=0\quad\Rightarrow \\ &x=3 \end{aligned}\]

Заметим, что данное уравнение имеет смысл только при \(x^2-81\geqslant0\). При таких \(x\) уравнение можно переписать в виде \(x^2+x-72=0\). По теореме Виета корнями этого уравнения будут \(x=8;-9\). Проверим, удовлетворяют ли они условию \(x^2-81\geqslant 0\):
\((8)^2-81<0\) – не удовлетворяет;
\((-9)^2-81=0\) – удовлетворяет.

Заметим, что левая часть представляет собой сумму двух квадратов: \(A^2+B^2\). Так как любое выражение в квадрате неотрицательное, то есть \(A^2\geqslant 0\), \(B^2\geqslant 0\), то и сумма этих выражений неотрицательна: \(A^2+B^2\geqslant 0\). Отсюда следует, что равенство возможно тогда и только тогда, когда \(A^2=B^2=0\), следовательно, и \(A=B=0\). Значит, \[\begin{cases} x^2-25=0\\ x^2+3x-10=0 \end{cases}\] Первое уравнение преобразуется в \((x-5)(x+5)=0\) по разности квадратов, откуда \(x=\pm 5\).
Второе уравнение по теореме Виета имеет корни \(x=-5; 2\).
Тогда решение системы – это пересечение корней первого и второго уравнений, то есть \(x=-5\).

Заметим, что \(x^2+y^2=x^2+2xy+y^2-2xy=(x+y)^2-2xy=(x+y)^2-12\) (так как из второго уравнения \(xy=6\)). Следовательно, получаем \[\begin{cases} (x+y)^2=25\\xy=6 \end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x+y=5\\&x+y=-5\end{aligned}\end{gathered}\right.\\xy=6\end{cases}\]

1) Если \(x+y=5\), откуда \(x=5-y\), то второе уравнение системы примет вид \(y(5-y)=6\), откуда \(y^2-5y+6=0\). Корни \(y=2;3\). При \(y=2\) получаем \(x=3\), при \(y=3\) получаем \(x=2\). Следовательно, первая часть ответа \((2;3), (3;2)\).

2) Если \(x+y=-5\), то аналогичным образом получаем уравнение \(y^2+5y+6=0\), откуда \(y=-2;-3\). Аналогично получаем \((-2;-3), (-3;-2)\).

Первое равенство выполняется при \(x=6\) или при \(y=7\).

1) Если \(x=6\), то второе уравнение равносильно \[\dfrac{y-4}{y-4}=3,\] что неверно ни для какого \(y\).

2) Если \(y=7\), то второе уравнение равносильно \[\dfrac3{x-3}=3\quad\Rightarrow\quad x=4\]