Задачи по теме «Конус»

Если радиус окружности, лежащей в основании конуса обозначить за \(r\), а длину образующей за \(l\), то площадь основания и площадь боковой поверхности конуса выразятся по формулам: \(S_{\text{осн.}} = \pi r^2\), \(S_{\text{бок.пов.}} = \pi r l\). Из первой формулы следует: \(\pi r^2 = 36\pi\) \(\Rightarrow\) \(r^2 = 36\) \(\Rightarrow\) \(r = 6\) \(\Rightarrow\) \(6\pi l = 48\pi\) \(\Rightarrow\) \(6l = 48\) \(\Rightarrow\) \(l = 8\).

Площадь боковой поверхности меньшего конуса, который дополняет усеченный конус до полного, равна разности их площадей поверхностей: \(S_{\text{мал}} = 48\pi - 36\pi = 12\pi\). Отношение площадей боковых поверхностей большого и малого конусов равно квадрату коэффициента подобия между ними: \[\frac{S_{\text{бол}}}{S_{\text{мал}}} = k^2 = \frac{48\pi}{12\pi} = 4\Rightarrow k = 2\]

Тогда высоты конусов относятся друг к другу: \(\dfrac{h_{\text{бол}}}{h_{\text{мал}}} = \dfrac{10}{h_{\text{мал}}} = k = 2\). Тогда

\[h_{\text{мал}} = 5\Rightarrow h_{\text{усеч}} = h_{\text{бол}} - h_{\text{мал}} = 10 - 5 = 5\]

Рассмотрим треугольник \(ABC\), где \(B\) – некоторая точка на окружности основания. Так как \(AC\) – высота конуса, то \(AC\perp CB\), тогда \(\angle CAB = 90^\circ - \angle ABC = 30^\circ\), следовательно, \(AB = 2CB = 8\). По теореме Пифагора \[AC = \sqrt{AB^2 - CB^2} = 4\sqrt{3}.\]

Обозначим через \(D\) точку пересечения плоскости сечения \(T\) и \(AB\). Рассмотрим треугольник \(AED\): \[AE = AC - CE = 4\sqrt{3} - \sqrt{3}(4 - \pi^{-0,5}) = \sqrt{\dfrac{3}{\pi}}.\]

Так как сечение \(T\) параллельно плоскости основания, а \(AC\) – высота конуса, то \(AC\perp ED\), тогда \(\triangle AED\) – прямоугольный и \(\angle EAD = 30^\circ\), откуда \[ED = AE\cdot \mathrm{tg}\, \angle EAD = \sqrt{\dfrac{3}{\pi}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} = r\] – радиус сечения \(T\).

Таким образом, площадь сечения \(T\) равна \(\pi r^2 = \pi\cdot\dfrac{1}{\pi} = 1\).

Обозначим центры оснований усечённого конуса через \(A\) и \(E\), так что \(A\) – центр большего основания. Отметим на большем основании точку \(C\), а точку меньшего основания, через которую проходит образующая, выходящая из \(C\), обозначим через \(D\).

Высота \(AE\) и образующая \(CD\) лежат в одной плоскости. Обозначим точку их пересечения через \(B\).

Так как \(AE\) – высота, то \(AE\perp CD\) и \(AE\perp AC\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BAC\):
в нём \(\angle BCA = 45^\circ\), тогда \[AB = R = \dfrac{10}{\sqrt[4]{2}\sqrt{\pi}},\qquad\qquad BC = R\sqrt{2} = \dfrac{10\sqrt{2}}{\sqrt[4]{2}\sqrt{\pi}}.\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BED\):
так как \(\angle EBD = 45^\circ\), то \[BE = r = \dfrac{2}{\sqrt[4]{2}\sqrt{\pi}},\qquad\qquad BD = r\sqrt{2} = \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt[4]{2}\sqrt{\pi}},\] тогда \(EA = AB - BE = R - r\), \(DC = BC - BD = R\sqrt{2} - r\sqrt{2} = \sqrt{2}(R - r)\). \[S_{\text{бок}} = \pi(R + r)\cdot I,\] где \(I\) – образующая, тогда \[S_{\text{бок}} = \pi(R + r)\cdot\sqrt{2}(R - r) = \sqrt{2}\pi(R^2 - r^2) = \sqrt{2}\pi\left(\dfrac{100}{\sqrt{2}\pi} - \dfrac{4}{\sqrt{2}\pi}\right) = 96.\]