Нахождение угла между прямыми

Прямая \(BD\) параллельна прямой \(B_1D_1\), тогда угол между \(AC\) и \(B_1D_1\) равен углу между \(AC\) и \(BD\), но \(AC\) и \(BD\) – диагонали квадрата, тогда они пересекаются под прямым углом, следовательно ответ \(90^{\circ}\).

Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник, следовательно, высота \(SO\) падает в точку пересечения медиан основания.



Пусть \(BB_1\) – медиана, а значит, и высота. По теореме Пифагора \[BB_1=\sqrt{BC^2-B_1C^2}=3\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad BO=\dfrac23BB_1=2\sqrt3,\] так как медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины.
Следовательно, прямоугольный \(\triangle SOB\) является равнобедренным (\(SO=BO=2\sqrt3\)), значит, острые углы равны по \(45^\circ\).

Так как \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб, то \(AB\) перпендикулярен плоскости \((ADD_1)\), тогда \(AB\) перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости \((ADD_1)\), следовательно, угол между прямыми, содержащими отрезки \(D_1K\) и \(AB\) равен \(90^{\circ}\).

Пусть \(SB_1\) – высота грани \(SAC\). Так как тетраэдр правильный, то все его грани – равные правильные треугольники, то есть \(SB_1\) также является и медианой, значит, \(AB_1=B_1C\). Также у правильного тетраэдра высота из каждой вершины падает в точку пересечения медиан (биссектрис, высот) противоположной грани. Следовательно, если \(SO\) – высота, то \(O\) – точка пересечения медиан треугольника \(ABC\), а значит и высот, так как \(\triangle ABC\) правильный. Следовательно, \(BB_1\) — медиана и высота.



Таким образом, необходимо найти \(\mathrm{tg}^2\angle (SB_1, BB_1)\).
Пусть \(a\) – ребро тетраэдра. Тогда \(BC=a, B_1C=0,5a\), следовательно, по теореме Пифагора \[BB_1=\sqrt{BC^2-B_1C^2}=\dfrac{\sqrt3}2a\] Так как \(O\) – точка пересечения медиан, а медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины, то \(OB_1=\frac13BB_1=\frac{\sqrt3}6a\).

Так как \(\triangle ABC=\triangle SAC\), то \(SB_1=BB_1\). Следовательно, из прямоугольного \(\triangle SB_1O\): \[\cos \alpha=\dfrac{OB_1}{SB_1}=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \sin \alpha =\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\dfrac{2\sqrt2}3 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{tg}^2\alpha=(2\sqrt2)^2=8.\]

Заметим, что \(BC_1 || AD_1\), тогда рассмотрим треугольник \(\triangle BDC_1\), в котором необходимо определить \(\angle DBC_1\). Он состоит из диагоналей соответствующих квадратов. Так как квадраты между собой равны, то равны и диагонали \(\Rightarrow\) \(\triangle BDC_1\) – равносторонний треугольник \(\Rightarrow\) \(\angle DBC_1 = 60^\circ\).

Проведем диагональ \(B_1D_1\) в квадрате \(A_1B_1C_1D_1\). Тогда \(KL\) – средняя линия в \(\triangle B_1C_1D_1\) \(\Rightarrow\) \(KL || B_1D_1\) \(\Rightarrow\) \(\angle AB_1D_1\) – искомый угол. Рассмотрим \(\triangle AB_1D_1\). Он состоит из диагоналей соответствующих квадратов \(\Rightarrow\) треугольник является равносторонним \(\Rightarrow\) \(\angle AB_1D_1 = 60^\circ\).

Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник, следовательно, \(AA_1\) также является и медианой.



Заметим, что прямые \(AA_1\) и \(SC\) скрещиваются. Проведем \(A_1M\parallel SC\), следовательно, \(\angle (AA_1, SC)=\angle (AA_1, A_1M)\).
Так как \(A_1M\parallel SC\) и \(A_1\) – середина \(BC\), то \(M\) – середина \(SB\). Следовательно, \(A_1M\) – средняя линия и \[A_1M=\frac12SC=1.\] По теореме Пифагора из \(\triangle ABA_1\): \[AA_1=\sqrt{AB^2-A_1B^2}=\dfrac32.\] Медиану \(AM\) из \(\triangle SAB\) можно найти по формуле медианы: \[AM^2=\dfrac{2AS^2+2AB^2-SB^2}4=\dfrac52.\] Следовательно, по теореме косинусов из \(\triangle AA_1M\): \[\cos \alpha=\dfrac{AA_1^2+A_1M^2-AM^2}{2AA_1\cdot A_1M}=\dfrac14=0,25.\]