Поиск точек экстремума у элементарных функций
\(\blacktriangleright\) Простейшие элементарные функции (ПЭФ) и их производные: \[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex] \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex] \hline \end{array}\]
\(\blacktriangleright\) Элементарные функции (ЭФ) — любые линейные комбинации простейших элементарных функций (то есть их сумма, разность, умножение на число).
Пример: \(f(x)=4\cos x +\dfrac{x^3}2\)
\(\blacktriangleright\) Основные формулы поиска производной (\(f=f(x), g=g(x)\) – функции):
1. Умножение функции на число: \[(c\cdot f)'=c\cdot f'\]
2. Сумма или разность двух функций: \[(f\pm g)'=f'\pm g'\]
\(\blacktriangleright\) Хитрости, упрощающие поиск производной:
I. Т.к. \(\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac mn}\), то производную этой функции можно искать по формуле (2).
Частный случай: \(\sqrt x =x^{\frac12}\): \[(\sqrt x)'=\dfrac1{2\sqrt x}\]
II. Т.к. \(\dfrac1{x^a}=x^{-a}\), то производную этой функции можно также искать по формуле (2): \[\left(\dfrac1{x^a}\right)'=-\dfrac a{x^{a+1}}\]
\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти точки экстремума, необходимо схематично изобразить график функции.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).
Найдите точку максимума функции \(y = -x^2\).
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
1) \[y' = -2x\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Производная существует при любом \(x\).
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика:
Таким образом, \(x = 0\) – точка максимума функции \(y\).
Найдите точку минимума функции \(y = x^2 + 2x + 2\) на отрезке \([-2; 2]\).
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
1) \[y' = 2x + 2\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[2x + 2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -1\,.\] Производная существует при любом \(x\).
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-2; 2]\):
4) Эскиз графика на отрезке \([-2; 2]\):
Таким образом, \(x = -1\) – точка минимума функции \(y\) на \([-2; 2]\).
Найдите точку минимума функции \(y = 3x^2 - 6x + \pi\) на отрезке \([-3; 3]\).
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
1) \[y' = 6x - 6\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[6x - 6 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1\,.\] Производная существует при любом \(x\).
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-3; 3]\):
4) Эскиз графика на отрезке \([-3; 3]\):
Таким образом, \(x = 1\) – точка минимума функции \(y\) на \([-3; 3]\).
Найдите точку локального минимума функции \(y = x^3 - 3x\).
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
1) \[y' = 3x^2 - 3\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[3x^2 - 3 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \pm 1\,.\] Производная существует при любом \(x\).
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика \(y\):
Таким образом, \(x = 1\) – точка локального минимума функции \(y\).
Найдите точку локального максимума функции
\(y = x^3 - 15x^2 + 48x + e\).
1) \(y' = 3x^2 - 30x + 48 = 3(x^2 - 10x + 16)\).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):
\[3(x^2 - 10x + 16) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 10x + 16 = 0,\] откуда находим \(x_1 = 2, \ x_2 = 8\). Таким образом, \[y' = 3(x - 2)(x - 8).\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика \(y\):
Таким образом, \(x = 2\) – точка локального максимума функции \(y\).
Найдите точку локального максимума функции \(y = \dfrac{1}{3}x^3 - 8x^2 + 55x + 11\).
1) \(y' = x^2 - 16x + 55\).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):
\(x^2 - 16x + 55 = 0\), откуда находим корни \(x_1 = 5, \ x_2 = 11\). Таким образом, \[y' = (x-5)(x-11).\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика \(y\):
Таким образом, \(x = 5\) – точка локального максимума функции \(y\).
Найдите точку локального минимума функции \(y = \dfrac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x + 2\).
1) \(y' = x^2 - 6x + 8\).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):
\(x^2 - 6x + 8 = 0\), откуда находим корни \(x_1 = 2, \ x_2 = 4\). Таким образом, \[y' = (x-2)(x-4).\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика \(y\):
Таким образом, \(x = 4\) – точка локального минимума функции \(y\).
Задачи, при выполнении которых требуется найти точки экстремума у элементарных функций, в ЕГЭ по математике включаются каждый год. Уметь справляться с ними должны школьники, сдающие как базовый уровень экзамена, так и профильный. Научившись безошибочно находить максимум и минимум элементарной функции в задачах ЕГЭ, выпускники смогут выполнить задание и получить конкурентные баллы.
Восполнить пробелы в знаниях и лучше усвоить информацию вам поможет образовательный проект «Школково». Чтобы учащимся было легче справляться с задачами ЕГЭ, в которых необходимо найти минимум и максимум элементарной функции, мы предлагаем прежде всего повторить определения и основные правила. Эту информацию мы разместили в разделе «Теоретическая справка». Здесь собран материал, подготовленный нашими специалистами для выпускников средних школ.
Чтобы закрепить усвоенную информацию и научиться справляться с задачами в ЕГЭ, выполните упражнения, в которых требуется найти точки экстремума у элементарных функций. Богатая подборка задач представлена в разделе «Каталог». Задания здесь регулярно обновляются и дополняются. Выполнить упражнения на нахождение точек экстремума у элементарных функций, которые встречаются в ЕГЭ, можно в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.
