Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора (страница 2)
Прямоугольный треугольник – это треугольник, один из углов которого равен \(90^\circ\) (прямой).
Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой (\(AB\)), а две другие стороны — катетами (\(AC\) и \(BC\)).
\(\bullet\) Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы.
Следовательно, если, например, \(\angle A=30^\circ\), то \(BC=\dfrac12AB\).
\(\bullet\) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\): \(\angle A+\angle B=90^\circ\).
Следовательно, если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен \(45^\circ\), то такой треугольник является равнобедренным.
\(\bullet\) Если в прямоугольном треугольнике \(ABC\) провести высоту \(CH\) из прямого угла, то \(\angle BAC=\angle BCH\) и \(\angle
ABC=\angle
ACH\):
\(\bullet\) Теорема Пифагора: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: \[AB^2=AC^2+BC^2\]
\(\bullet\) \(\triangle ABC\sim \triangle AHC\sim \triangle BHC\)
\(\bullet\) Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой: \[CH=\sqrt{AH\cdot HB}\]
В треугольнике \(ABC\) \(AC=BC=2\sqrt3\), \(\angle C=120^\circ\). Найдите высоту \(AH\).
Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ACH\). Так как \(\angle ACB=120^\circ\), то \(\angle ACH=180^\circ-120^\circ=60^\circ\). Следовательно, \(\angle HAC=90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, следовательно, \(HC=0,5AC=\sqrt3\). Тогда по теореме Пифагора \[AH=\sqrt{AC^2-HC^2}=3\]
В треугольнике \(ABC\) \(AC=BC\), \(\angle C=120^\circ\), \(AB=2\sqrt3\). Найдите \(AC\).
Рассмотрим прямоугольный \(\triangle AHB\).
Так как \(\angle
C=120^\circ\) и \(AC=CB\), то \(\angle
B=(180^\circ-120^\circ):2=30^\circ\).
Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, следовательно, \(HA=0,5AB=\sqrt3\).
Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ACH\). Так как \(\angle ACB=120^\circ\), то \(\angle ACH=180^\circ-120^\circ=60^\circ\). Следовательно, \(\angle HAC=90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Следовательно, \(HC=0,5AC\). Тогда по теореме Пифагора \[AC^2=HC^2+HA^2\quad\Rightarrow\quad AC^2=\dfrac{AC^2}4+3\quad\Rightarrow\quad AC=2\]
В треугольнике \(ABC\) \(AC=BC\), \(\angle C=120^\circ\), \(AC=2\sqrt3\). Найдите \(AB\).
Проведем \(CK\perp AB\):
Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, то \(CK\) также является медианой и биссектрисой, следовательно, \(AK=0,5AB\) и \(\angle
ACK=60^\circ\). Тогда \(\angle CAK=90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то есть \(CK=0,5AC=\sqrt3\). Тогда по теореме Пифагора: \[AK=\sqrt{AC^2-CK^2}=3\quad\Rightarrow\quad AB=2AK=6\]
