Решение неравенств (страница 2)

ОДЗ:

\[\begin{aligned} (x - 1)(x + 5)\neq 0 \end{aligned}\]

Умножая исходное неравенство на \(-1\), получим равносильное неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 1)(x - 5)}{(x - 1)(x + 5)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения \[(x - 1)(x - 5) = 0\] Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = 1,\qquad\qquad x = 5\]

2) Найдём нули знаменателя: \[(x - 1)(x + 5) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x = 1\\ x = -5 \end{gathered} \right.\]

По методу интервалов:



откуда \[x\in(-5; 1)\cup(1; 5]\,.\] В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

ОДЗ:

\[\begin{aligned} (2x - 3)(2x^2 - 5)\neq 0 \end{aligned}\]

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения \[(x + 3)(x^2 - 5) = 0\quad\Leftrightarrow\quad (x + 3)(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = 0\] Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = -3,\qquad\qquad x = \sqrt{5},\qquad\qquad x = -\sqrt{5}\]

2) Найдём нули знаменателя: \[(2x - 3)(2x^2 - 5) = 0\quad\Leftrightarrow\quad (2x - 3)(x - \sqrt{2,5})(x + \sqrt{2,5}) = 0\quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{gathered} x = 1,5\\ x = \sqrt{2,5}\\ x = -\sqrt{2,5} \end{gathered} \right.\]

По методу интервалов:



откуда \[x\in(-\infty; -3]\cup[-\sqrt{5}; -\sqrt{2,5})\cup(1,5; \sqrt{2,5})\cup[\sqrt{5}; +\infty)\,.\] В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Перенесем слагаемые в одну сторону и приведем все дроби к общему знаменателю:

\(\dfrac x{x-3}+\dfrac{x-5}x-\dfrac{2x}{3-x}<0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac x{x-3}+\dfrac{x-5}x+\dfrac{2x}{x-3}<0 \quad \Rightarrow\)  

\(\dfrac{x\cdot x+(x-5)(x-3)+2x\cdot x}{(x-3)x}<0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{4x^2-8x+15}{x(x-3)}<0\)

Попробуем разложить числитель \(4x^2-8x+15\) на множители. Для этого решим уравнение \(4x^2-8x+15=0\). Т.к. дискриминант данного уравнения меньше нуля, то оно не имеет корней, следовательно, не разлагается на множители.
Таким образом, данный квадратичный трехчлен принимает значения строго одного знака: либо всегда положителен, либо отрицателен. Для того, чтобы найти этот знак, подставим любое число вместо \(x\), например, \(x=0\), и получим \(15>0\). Следовательно, для любого \(x\) выражение \(4x^2-8x+15>0\).

Т.к. мы имеем право делить неравенство на любое строго положительное выражение, то можно разделить правую и левую часть неравенства на \(4x^2-8x+15\), и тогда неравенство примет вид:

\[\dfrac1{x(x-3)}<0\]

Решим данное неравенство методом интервалов:

Таким образом, неравенству удовлетворяют \(x\in (0;3)\).

ОДЗ: \[\begin{cases} x - 7\neq 0\\ x + 2\neq 0\\ -x^2 - 16\neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x \neq 7\\ x \neq -2. \end{cases}\] Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

\[\begin{aligned} (x - 1)(x^2 - 4)(2x - 8) = 0 \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = 1,\qquad\qquad x = \pm 2,\qquad\qquad x = 4.\]

2) Нули знаменателя находятся из уравнения

\[\begin{aligned} (x - 7)(x + 2)(-x^2 - 16) = 0 \end{aligned}\]

Так как при любом \(x\) выполнено \(x^2\geqslant 0\), то при любом \(x\) выполнено \(-x^2 - 16 \leqslant -16 < 0\), тогда нули знаменателя: \[x = 7,\qquad\qquad x = -2.\]

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 1)(x - 2)(x + 2)(2x - 8)}{(x - 7)(x + 2)(-x^2 - 16)}\geqslant 0\ \Leftrightarrow\ \dfrac{(x - 1)(x - 2)(x + 2)(2x - 8)}{(x - 7)(x + 2)(x^2 + 16)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x\in [1;2]\cup [4; 7).\)
В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Приведем все дроби к общему знаменателю (заметим, что \((-a)^2=a^2\), следовательно, \((2-x)^2=(x-2)^2\)):   \(\dfrac{2x+3}{x(x+2)}-\dfrac{1-14x}{x(x-2)}+\dfrac{54}{(x-2)^2}\leqslant0\quad \Rightarrow \quad \dfrac{(2x+3)(x-2)^2-(1-14x)(x+2)(x-2)+54x(x+2)}{x(x+2)(x-2)^2}\leqslant0 \quad \Rightarrow \)   \(\Rightarrow \quad \dfrac{(2x^3-5x^2-4x+12)-(-14x^3+x^2+56x-4)+(54x^2+108x)}{x(x+2)(x-2)^2}\leqslant0 \quad \Rightarrow \)   \(\Rightarrow\quad \dfrac{16x^3+48x^2+48x+16}{x(x+2)(x-2)^2}\leqslant0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{16(x^3+3x^2+3x+1)}{x(x+2)(x-2)^2}\leqslant0\)  

Заметим, что по формуле куба суммы \(x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3\), следовательно, \[\dfrac{16(x+1)^3}{x(x+2)(x-2)^2}\leqslant0\]

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Тогда нам подходят \(x\in (-\infty;-2)\cup[-1;0)\).

По формуле сокращенного умножения \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Тогда неравенство примет вид:

\[\dfrac{x^2-6-x}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{2x-3}{x-2}+\dfrac{x^2}{x}\leqslant 0\]

Заметим, что дробь \(\dfrac{x^2}x\) при всех значениях \(x\), кроме \(x=0\), равна \(x\).

Решим неравенство при \(x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).  

\(\dfrac{x^2-6-x}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{2x-3}{x-2}+x\leqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x^2-6-x-(2x-3)(x+2)+x(x^2-4)}{(x+2)(x-2)}\leqslant 0 \quad \Rightarrow \)  

\(\Rightarrow \quad \dfrac{x^3-x^2-6x}{(x+2)(x-2)}\leqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x(x^2-x-6)}{(x+2)(x-2)}\leqslant 0\)  

Разложим на множители выражение \(x^2-x-6\). Для этого решим квадратное уравнение \(x^2-x-6=0\). По теореме Виета корнями являются: \(x_1=-2\) и \(x_2=3\). Значит, выражение можно записать как \((x+2)(x-3)\).
Тогда неравенство перепишется в виде:

\[\dfrac{x(x+2)(x-3)}{(x+2)(x-2)}\leqslant 0\]

Решим данное неравенство методом интервалов:

Заметим, что число \(-2\) выколото, т.к., несмотря на то, что оно находится в числителе, оно находится еще и в знаменателе.

Таким образом, нам подходят \(x\in(-\infty;-2)\cup(-2;0]\cup(2;3]\).
Вспомним, что изначально мы решали неравенство для всех \(x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\), то есть \(x\ne 0\), следовательно, окончательный ответ:

\[x\in(-\infty;-2)\cup(-2;0)\cup(2;3].\]

Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем:

\(\left(\dfrac1{x-1}-\dfrac1{x+1}\right)-\left(\dfrac1{x-2}-\dfrac1{x+2}\right) \geqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x+1-(x-1)}{(x-1)(x+1)}- \dfrac{x+2-(x-2)}{(x-2)(x+2)}\geqslant 0 \quad \Rightarrow\)  

\(\Rightarrow \quad \dfrac2{(x-1)(x+1)}-\dfrac{4}{(x-2)(x+2)}\geqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac1{(x-1)(x+1)}-\dfrac2{(x-2)(x+2)}\geqslant 0\)  

Т.к. по формулам сокращенного умножения \((x-1)(x+1)=x^2-1\), \((x-2)(x+2)=x^2-4\), то:

\(\dfrac{x^2-4}{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}-\dfrac{2(x^2-1)}{(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)} \geqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x^2+2}{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}\leqslant 0\)  

Заметим, что выражение \(x^2+2\) всегда \(\geqslant 2\), то есть положительно, значит, можно разделить неравенство на это выражение и получится:

\[\dfrac1{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}\leqslant 0\]

Решим данное неравенство методом интервалов:

Таким образом, подходят \(x\in (-2;-1)\cup(1;2)\).