Квадратные и линейные уравнения (страница 5)
Линейное уравнение – уравнение, сводящееся к виду \(\large{ax+b=0}\), где \(a\ne
0, b\) – числа.
Линейное уравнение всегда имеет единственное решение \(x=-\dfrac ba\).
Квадратное уравнение – уравнение, сводящееся к виду \(\large{ax^2+bx+c=0}\), где \(a\ne
0,b,c\) – числа.
Выражение \(D=b^2-4ac\) называется дискриминантом квадратного уравнения.
Квадратное уравнение может иметь не более двух корней:
\(\bullet\) если \(D>0\), то оно имеет два различных корня
\[x_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}\]
\(\bullet\) если \(D=0\), то оно имеет один корень (иногда говорят, что два совпадающих)
\[x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}\]
\(\bullet\) если \(D<0\), то оно не имеет корней.
\(\blacktriangleright\) Теорема Виета для квадратного уравнения:
Если квадратное уравнение имеет неотрицательный дискриминант, то сумма корней уравнения
\[{\large{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}}}\]
а произведение
\[{\large{x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}}}\]
\(\blacktriangleright\) Если квадратное уравнение:
\(\sim\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
\(\sim\) имеет один корень \(x_1\) (иногда говорят, что два совпадающих), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2\).
\(\sim\) не имеет корней, то квадратный трехчлен \(ax^2+bc+c\) никогда не может быть равен нулю. Более того, он при всех \(x\) строго одного знака: либо положителен, либо отрицателен.
\(\blacktriangleright\) Полезные формулы сокращенного умножения:
\[\begin{aligned} &x^2-y^2=(x-y)(x+y)\\ &(x+y)^2=x^2+2xy+y^2\\ &(x-y)^2=x^2-2xy+y^2 \end{aligned}\]
Укажите в ответе сумму квадратов корней уравнения \(\sqrt5x^2-\sqrt{13}x-\sqrt{20}=0\), если они есть, и \(0\), если уравнение не имеет корней.
Т.к. \(D=13+4\cdot\sqrt5\cdot\sqrt{20}=13+40=53>0\), то уравнение имеет корни.
1 способ.
Пусть \(a\) и \(b\) – корни уравнения. Тогда \(a+b=\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt5}\), \(ab=-\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt5}\). \[a^2+b^2=a^2+2ab+b^2-2ab=(a+b)^2-2ab \quad\Rightarrow\quad a^2+b^2=
\left(\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt5}\right)^2-2\cdot
\left(-\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt5}\right)=\dfrac{13}5+4=6,6.\]
2 способ.
Корни уравнения \[x_1=\dfrac{\sqrt{13}-\sqrt{53}}{2\sqrt5}\qquad\text{и}\qquad
x_2=\dfrac{\sqrt{13}+\sqrt{53}}{2\sqrt5}\] Тогда \[\begin{aligned}
&x_1^2=
\left(\dfrac{\sqrt{13}-\sqrt{53}}{2\sqrt5}\right)^2=
\dfrac{13-2\sqrt{13}\sqrt{53}+53}{20}\\[2ex]
&x_2^2=\left(\dfrac{\sqrt{13}+\sqrt{53}}{2\sqrt5}\right)^2=
\dfrac{13+2\sqrt{13}\sqrt{53}+53}{20}\\[2ex]
&\Rightarrow \quad
x_1^2+x_2^2=\dfrac{13-2\sqrt{13}\sqrt{53}+53}{20}+
\dfrac{13+2\sqrt{13}\sqrt{53}+53}{20}=6,6.
\end{aligned}\]
Заметим, что первый способ вычислительно проще.
Сумма квадратов различных вещественных корней приведенного квадратичного трехчлена равна \(1\), а сумма кубов этих же корней равна \(-1\). Найдите количество квадратичных трехчленов, удовлетворяющих этим условиям.
Приведенным называется квадратичный трехчлен вида \(t^2+bt+c\), где \(b, c\) – некоторые числа. Пусть \(x, y\) – различные вещественные корни такого трехчлена (следовательно, его дискриминант должен быть положительным).
Тогда \[\begin{aligned} &x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(-b)^2-2c=b^2-2c\\
&x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)((x+y)^2-3xy)=-b(b^2-3c)
\end{aligned}\] Следовательно, получаем систему: \[\begin{cases}
b^2-2c=1\\
-b(b^2-3c)=-1 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases}
c=\dfrac{b^2-1}2\\[2ex]
b^3-3b+2=0 \end{cases}\] Найдем корни уравнения \(b^3-3b+2=0\). Подбором находим, что \(b=1\) является корнем. Выполнив деление в столбик, получаем \(b^3-3b+2=(b-1)^2(b+2)=0\), следовательно, его корни: \(b=1\) и \(b=-2\). Тогда получаем: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&\begin{cases} b=1\\
c=0 \end{cases} \\
&\begin{cases} b=-2\\[1ex]
c=\dfrac32 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\] Осталось проверить положительность дискриминанта.
Для первой пары чисел получаем: \(D=b^2-4c=1>0\);
для второй пары чисел: \(D=-2<0\).
Следовательно, подходит только одна пара чисел, а это значит, что существует только один приведенный квадратичный трехчлен, удовлетворяющий условиям.
