Логарифмические уравнения
Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в основании и/или аргументе логарифма.
Стандартное логарифмическое уравнение:
\[{\large{\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}}}\]
где \(a>0, a\ne 1\).
Некоторые важные формулы:
(0) при \(a>0, \ a\ne 1, \ b>0\) выполняется основное логарифмическое тождество \[{\large{a^{\log_ab}=b}}\]
(1) при \(a>0,\ a\ne 1\) \[{\large{\log_a1=0, \qquad \log_aa=1}}\]
(2) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab}}\]
при четных \(m\) и \(n\) и \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\dfrac mn\log_{|a|}{|b|}}}\]
(3) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ c>0\) \[{\large{b^{\log_ac}=c^{\log_ab}}}\]
(4) при \(a>0,\ a\ne 1,\ bc>0\) \[{\large{\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \qquad \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}}}\]
(5) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ b\ne 1,\ c>0\) \[{\large{\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac \Longleftrightarrow \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}}}\]
Найдите корень уравнения \(\log_4(10+2x)=3\).
ОДЗ уравнения: \(10+2x>0\).
Решим на ОДЗ. \[\log_4(10+2x)=\log_4{4^3} \quad\Leftrightarrow\quad 10+2x=64 \quad\Leftrightarrow\quad x=27.\] Полученное число удовлетворяет ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\log_{0,5}(2x-5)=-2\).
ОДЗ уравнения: \(2x-5>0\).
На ОДЗ уравнение равносильно: \(2x-5=(0,5)^{-2}\quad\Leftrightarrow\quad 2x-5=4\) – подходит по ОДЗ.
Следовательно, \(x=\dfrac92=4,5\).
Найдите корень уравнения \(\log_{2}(x + 6) = 5\).
ОДЗ: \(x + 6 > 0\), что равносильно \(x > -6\). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма \(\log_{2}(x + 6)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 2, чтобы получить \(x + 6\), откуда заключаем: \(2^5 = x + 6\), что равносильно \(x = 26\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\log_{12}(2x - 10) = 1\).
ОДЗ: \(2x - 10 > 0\), что равносильно \(x > 5\). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма \(\log_{12}(2x - 10)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 12, чтобы получить \(2x - 10\), откуда заключаем: \(12^1 = 2x - 10\), что равносильно \(x = 11\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\log_{4}(x + 1) = 3\).
ОДЗ: \(x + 1 > 0\), что равносильно \(x > -1\). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма \(\log_{4}(x + 1)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 4, чтобы получить \(x + 1\), откуда заключаем: \(4^3 = x + 1\), что равносильно \(x = 63\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\log_{3}(x - 4) = \log_{3}4\).
ОДЗ: \(x - 4 > 0\), что равносильно \(x > 4\). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма \(\log_{3}(x - 4)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить \(x - 4\), откуда заключаем: \(3^{\log_3(4)} = x - 4\), что равносильно \(4 = x - 4\), что равносильно \(x = 8\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\log_{7}(3x - 1) = \log_{7}2\).
ОДЗ: \(3x - 1 > 0\), что равносильно \(x > \dfrac{1}{3}\). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма \(\log_{7}(3x - 1)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 7, чтобы получить \(3x - 1\), откуда заключаем: \(7^{\log_7(2)} = 3x - 1\), что равносильно \(2 = 3x - 1\), что равносильно \(x = 1\) – подходит по ОДЗ.
Подготовка к итоговому тестированию по математике включает в себя важный раздел — «Логарифмы». Задания из этой темы обязательно содержатся в ЕГЭ. Опыт прошлых лет показывает, что логарифмические уравнения вызвали затруднения у многих школьников. Поэтому понимать, как найти правильный ответ, и оперативно справляться с ними должны учащиеся с различным уровнем подготовки.
Сдайте аттестационное испытание успешно с помощью образовательного портала «Школково»!
При подготовке к единому государственному экзамену выпускникам старших классов требуется достоверный источник, предоставляющий максимально полную и точную информацию для успешного решения тестовых задач. Однако учебник не всегда оказывается под рукой, а поиск необходимых правил и формул в Интернете зачастую требует времени.
Образовательный портал «Школково» позволяет заниматься подготовкой к ЕГЭ в любом месте в любое время. На нашем сайте предлагается наиболее удобный подход к повторению и усвоению большого количества информации по логарифмам, а также по решению показательных уравнений с одним и несколькими неизвестными. Начните с легких уравнений. Если вы справились с ними без труда, переходите к более сложным. Если у вас возникли проблемы с решением определенного неравенства, вы можете добавить его в «Избранное», чтобы вернуться к нему позже.
Найти необходимые формулы для выполнения задачи, повторить частные случаи и способы вычисления корня стандартного логарифмического уравнения вы можете, заглянув в раздел «Теоретическая справка». Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили все необходимые для успешной сдачи материалы в максимально простой и понятной форме.
Чтобы без затруднений справляться с заданиями любой сложности, на нашем портале вы можете ознакомиться с решением некоторых типовых логарифмических уравнений. Для этого перейдите в раздел «Каталоги». У нас представлено большое количество примеров, в том числе с уравнениями профильного уровня ЕГЭ по математике.
Воспользоваться нашим порталом могут учащиеся из школ по всей России. Для начала занятий просто зарегистрируйтесь в системе и приступайте к решению уравнений. Для закрепления результатов советуем возвращаться на сайт «Школково» ежедневно.
