Решение простых уравнений (страница 5)

Т.к. \(D=13+4\cdot\sqrt5\cdot\sqrt{20}=13+40=53>0\), то уравнение имеет корни.

1 способ.
Пусть \(a\) и \(b\) – корни уравнения. Тогда \(a+b=\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt5}\), \(ab=-\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt5}\). \[a^2+b^2=a^2+2ab+b^2-2ab=(a+b)^2-2ab \quad\Rightarrow\quad a^2+b^2= \left(\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt5}\right)^2-2\cdot \left(-\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt5}\right)=\dfrac{13}5+4=6,6.\]

2 способ.
Корни уравнения \[x_1=\dfrac{\sqrt{13}-\sqrt{53}}{2\sqrt5}\qquad\text{и}\qquad x_2=\dfrac{\sqrt{13}+\sqrt{53}}{2\sqrt5}\] Тогда \[\begin{aligned} &x_1^2= \left(\dfrac{\sqrt{13}-\sqrt{53}}{2\sqrt5}\right)^2= \dfrac{13-2\sqrt{13}\sqrt{53}+53}{20}\\[2ex] &x_2^2=\left(\dfrac{\sqrt{13}+\sqrt{53}}{2\sqrt5}\right)^2= \dfrac{13+2\sqrt{13}\sqrt{53}+53}{20}\\[2ex] &\Rightarrow \quad x_1^2+x_2^2=\dfrac{13-2\sqrt{13}\sqrt{53}+53}{20}+ \dfrac{13+2\sqrt{13}\sqrt{53}+53}{20}=6,6. \end{aligned}\]
Заметим, что первый способ вычислительно проще.

Приведенным называется квадратичный трехчлен вида \(t^2+bt+c\), где \(b, c\) – некоторые числа. Пусть \(x, y\) – различные вещественные корни такого трехчлена (следовательно, его дискриминант должен быть положительным).
Тогда \[\begin{aligned} &x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(-b)^2-2c=b^2-2c\\ &x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)((x+y)^2-3xy)=-b(b^2-3c) \end{aligned}\] Следовательно, получаем систему: \[\begin{cases} b^2-2c=1\\ -b(b^2-3c)=-1 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} c=\dfrac{b^2-1}2\\[2ex] b^3-3b+2=0 \end{cases}\] Найдем корни уравнения \(b^3-3b+2=0\). Подбором находим, что \(b=1\) является корнем. Выполнив деление в столбик, получаем \(b^3-3b+2=(b-1)^2(b+2)=0\), следовательно, его корни: \(b=1\) и \(b=-2\). Тогда получаем: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} b=1\\ c=0 \end{cases} \\ &\begin{cases} b=-2\\[1ex] c=\dfrac32 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\] Осталось проверить положительность дискриминанта.
Для первой пары чисел получаем: \(D=b^2-4c=1>0\);
для второй пары чисел: \(D=-2<0\).
Следовательно, подходит только одна пара чисел, а это значит, что существует только один приведенный квадратичный трехчлен, удовлетворяющий условиям.