Задачи на прямолинейное движение (страница 4)

Из картинки видно, что “поезд проходит мимо столба” – это то же самое, что “поезд проходит расстояние, равное длине поезда”, а “поезд проходит через туннель” – это то же самое, что “поезд проходит расстояние, равное длине поезда плюс длине туннеля”.
Следовательно, так как длина поезда 1 км, а мимо столба он проходит за 1 мин, то его скорость равна 1 км/мин. Следовательно, 1 км/мин \(\cdot\) 3 мин \(=\) 3 км – длина поезда плюс длина туннеля. Следовательно, длина туннеля равна 2 км.

Пусть \(x\) км/ч – скорость парома из А в В. Тогда можно составить такую картинку-схему:



Время в часах, которое паром затратил из А в В, равно \[\dfrac{704}{x}\] Время в часах, которое он затратил из В в А, равно \[\dfrac{704}{x+5}+20\] Так как это время оказалось одинаковым, то получается следующее уравнение \[\dfrac{704}x=\dfrac{704}{x+5}+20 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{704(x+5)-704x}{x(x+5)}=20 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{176}{x(x+5)}=1 \quad\Leftrightarrow\quad x^2+5x-176=0\] Дискриминант \(D=5^2+4\cdot 176=729=27^2\), следовательно, корни \[x_1=\dfrac{-5+27}{2}=11 \quad {\small{\text{и}}} \quad x_2=\dfrac{-5-27}{2}=-16\] Так как скорость – величина положительная, то \(x=11\).
Не забудем вернуться к условию и проверить, что необходимо было найти: скорость парома на пути из В в А. Следовательно, ответ \(x+5=16\).

Заметим, что фраза “первый поезд прошел мимо пассажира за 12 с” означает, что с того момента, как пассажир увидел голову поезда, до того момента, как он увидел хвост поезда, прошло 12 с. Следовательно, неважно, где именно в поезде в этот момент находился пассажир. Поэтому пусть пассажир находился прямо в начале поезда.



Первая картинка – когда пассажир увидел голову поезда, вторая – хвост поезда.
Заметим, что за каждую секунду первый поезд проезжает \(\dfrac{70000}{3600}=\dfrac{175}9\) м, второй – \(\dfrac{80000}{3600}=\dfrac{200}9\) м.

Следовательно, за каждую секунду пассажир удаляется от головы первого поезда на \(\dfrac{175}9+\dfrac{200}9=\dfrac{125}3\) м. Следовательно, через 12 с он удалится от головы поезда на \(\dfrac{125}3\cdot 12=500\) м. Так как в этот момент он будет видеть хвост поезда, то это значит, что 500 м и есть длина первого поезда.

Пусть \(v\, км/ч\) – скорость медленного автомобиля, тогда \(1,2v\, км/ч\) – скорость быстрого автомобиля, следовательно, скорость сближения автомобилей равна \(v + 1,2v = 2,2v\, км/ч\).

Пусть \(S\, км\) – расстояние между пунктами \(A\) и \(B\), тогда \(t = \dfrac{S}{2,2v}\), а \(T = \dfrac{S}{v}\), следовательно, \[\dfrac{T}{t} = \dfrac{S}{v} : \dfrac{S}{2,2v} = 2,2\,.\]

Рассмотрим схематичный рисунок:



Условно назовем паром, отчаливший от левого берега, зеленым, а паром, отчаливший от правого – синим. Пусть скорость зеленого \(x\) км/ч, синего \(y\) км/ч.
Из условия задачи следует, что \(AC=0,9\) км, \(BD=0,3\) км.
Пусть \(BC=S\). Тогда \(AB=AC+BC=0,9+S\). Так как до первой встречи паромы двигались одинаковое количество времени, то можно составить равенство: \[\dfrac Sy=\dfrac {0,9}x \quad\Rightarrow\quad \dfrac xy=\dfrac{0,9}S\]

После первой встречи и до второй встречи синий прошел расстояние, равное \(AC+AD=AC+(AB-BD)=0,9+0,9+S-0,3=1,5+S\), а зеленый – равное \(BC+BD=S+0,3\). Время, потраченное на путь у каждого парома, также было одинаковым. Следовательно, можно составить второе равенство: \[\dfrac{1,5+S}y=\dfrac{S+0,3}x \quad\Rightarrow\quad \dfrac xy=\dfrac{S+0,3}{1,5+S}\]

Таким образом, из полученных двух равенств можно заключить: \[\dfrac{0,9}S=\dfrac{S+0,3}{1,5+S} \quad\Rightarrow\quad S^2-0,6S-0,9\cdot 1,5=0\]

По теореме Виета корнями уравнения будут числа \(-0,9\) и \(1,5\). Так как \(S\) – длина отрезка, то есть неотрицательная величина, то \(S=1,5\). Следовательно, ширина реки равна \(AB=1,5+0,9=2,4\).

Пусть скорость первого автомобилиста равна \(x\) км/ч, \(S\) км – расстояние от А до Б. Тогда можно составить такую картинку-схему:



Тогда время в часах, которое первый затратил на дорогу, равно \[\dfrac Sx\] Время в часах, которое второй затратил на дорогу, равно \[\dfrac{\frac S2}{84}+\dfrac{\frac S2}{x-11,2}\] Так как оба прибыли одновременно в пункт Б, то есть затратили на дорогу одинаковое время, то получаем следующее уравнение: \[\dfrac Sx=\dfrac{\frac S2}{84}+\dfrac{\frac S2}{x-11,2}\] Заметим, что можно разделить обе части уравнения на \(S\), так как \(S\ne 0\). Приведем к общему знаменателю и перенесем все слагаемые в одну сторону: \[\dfrac{x^2-(84+11,2)x+2\cdot 84\cdot 11,2}{2\cdot 84\cdot x\cdot (x-11,2)}=0\] Решим уравнение \(x^2-(84+11,2)x+2\cdot 84\cdot 11,2=0\). Домножим его на \(10\): \(10x^2-952x+2\cdot 84\cdot 112=0\).
Дискриминант \[D=952^2-4\cdot 10\cdot 2\cdot 84\cdot 112=7^2\cdot 2^6\cdot 17^2-2^{10}\cdot 3\cdot 5\cdot 7^2=7^2\cdot 2^6\cdot (289-240)=(7\cdot 2^3\cdot 7)^2=392^2\] Следовательно, корнями будут \[x_1=\dfrac{952+392}{20}=67,2 \quad {\small{\text{и}}} \quad x_2=\dfrac{952-392}{20}=28\] Так как скорость больше 50, то ответом будет число 67,2.

Заметим, что так как более быстрый мотоциклист находится впереди, то расстояние между мотоциклистами будет только увеличиваться (то есть они будут только отдаляться друг от друга). Значит, в задаче будет только один ответ.
Следовательно, расстояние между ними должно измениться на \(17,5-10=7,5\) км (так как изначально они находились на расстоянии 10 км друг от друга). Скорость удаления мотоциклистов равна \(31-16=15\) км/ч. Следовательно, время, через которое расстояние между ними увеличится еще на 7,5 км, равно \(7,5:15=0,5\) часа или \(30\) минут.