Задачи на теорию чисел
Найдите наименьшее трёхзначное число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 даёт остаток 1, при делении на 5 даёт остаток 2.
Остаток 1 при делении на 2 означает, что число нечётно, это значит, что оно оканчивается на нечётную цифру. Остаток 2 при делении на 5 означает, что число оканчивается на 2 или 7, но при этом число оканчивается на нечётную цифру. Значит, на конце стоит 7. Остаток числа при делении на 3 равен остатку суммы цифр этого числа при делении на 3. Поскольку хочется найти наименьшее такое число, то пусть оно начинается с 1. Тогда для достижения требуемого остатка посередине должна стоять цифра 2. Итого, получаем число 127.
Найдите наименьшее четырёхзначное число, у которого произведение цифр равно 36.
Понятно, что в этом числе нет нуля. \(36 = 2^2\cdot 3^2\). Имея определённый набор цифр, из которых надо составить число, наименьшим будет такое, где данные цифры идут в порядке возрастания. Чем больше правая цифра, тем меньше получится само число. Предположим, это число \(9 = 3^2\), тогда произведение оставшихся трёх цифр равно 4. Пусть тогда третья цифра равна 4, так мы и получим наименьшее число 1149.
Найдите наименьшее простое трёхзначное число, все цифры которого различны, а последняя цифра равна сумме первых двух.
Раз число простое, то оно оканчивается на нечётную цифру. Следовательно, среди первых двух цифр одна чётная и одна нечётная. При этом последняя цифра не может быть равна 5, так как тогда число не будет простым и будет делить на 5. Аналогично, последняя цифра не может оканчиваться на 3 или 9, поскольку тогда сумма всех цифр будет равна 6 или 18 соответственно, что гарантирует делимость на 3. Последняя цифра не может быть равна 1, потому что тогда мы получим число 101, у которого две цифры совпадают, а это противоречит условию. Выясняется, что на конце стоит цифра 7. Пусть первая цифра равна 1. Тогда вторая равна 6. Чтобы убедиться, что число 167 — простое, нужно проверить его на делимость на множители, не превышающие \(\left[ \sqrt{167} \right] = 12\), где \(\left[ \cdot \right]\) — целая часть числа. Очевидно, что число 167 не делится на 2, 3, 5. На 7 число не делится, так как 160 не делится на 7 (а 140 делится). На 11 167 тоже не делится. Значит, оно простое.
В ряд выписаны в порядке возрастания числа, делящиеся на 9: 9, 18, 27, 36, \(\ldots\). Под каждым числом этого ряда записана его сумма цифр. а) На каком месте во втором ряду впервые встретится число 81? б) Что встретится раньше: четыре раза подряд число 27 или один раз число 36? В ответе укажите, на каком месте начинается та последовательность, которая будет идти раньше.
В ответе слитно запишите ответы на вопросы в обоих пунктах.
Чем меньше цифр в числе с суммой цифр 81, тем раньше 81 встречается во втором ряду. Минимальное количество цифр достигается, если все цифры равны 9: 999999999. Поскольку в первом ряду записано каждое девятое число, то тогда найденное число имеет номер 111111111.
27 впервые появится под числом 999. Далее будут числа 1008, 1017, 1026... 36 впервые появится под 9999. Таким образом, раньше встретится 4 раза подряд число 27, начиная с 111 позиции.
Найдите все простые числа \(p\) и \(q\), для которых выполняется равенство \(p^2 - 2q^2 = 1\). В ответе укажите слитно пары решений \((p,q)\).
Запишем исходное уравнение иначе:
\[\begin{aligned} 2q^2 &= p^2 - 1;\\ 2q^2 &= (p - 1)( p + 1).\end{aligned}\]
Заметим, что левая часть делится на 2. Тогда и правая часть делится на 2. Но при этом числа \(p-1\) и \(p + 1\) имеют одинаковую чётность. Значит, они оба чётны. Но тогда правая часть делится на 4, тогда и правая часть делится на 4, а значит \(q^2\) делится на 2. Но поскольку \(q\) — простое число, то \(q = 2\). Тогда, очевидно, \(p = 3.\)
На летней смене лагеря Школково 2019 было 6 ящиков подарков на аукцион, массы которых соответственно 12, 16, 18, 19, 23 и 24 килограммов. Две коалиции приобрели пять ящиков, причём одна из них взяла по массе подарков в два раза больше чем другая. Ящик какой массы приобрели остальные?
Масса всех приобретённых подарков делится на 3. Рассмотрим остатки масс при делении на 3. Тогда сумма остатков даёт остаток суммы масс. Сумма остатков равна \(0 + 1 + 0 + 1 + 2 + 1 = 5\). Нужно откинуть один остаток таким образом, чтобы оставшаяся сумма делилась на три. Таким числом является остаток 2, следовательно, остальные остальные приобрели ящик массой 23 кг.
