Задачи с параметром из ЕГЭ прошлых лет (страница 5)

Система равносильна системе: \[\begin{cases} y=ax\\ (y-1)(xy-6)\sqrt{y+2}=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=ax\\ y\geqslant -2\\ \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &y=1\\ &xy=6\\ &y=-2 \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{cases}\]

Заметим, что при \(a=0\) система не имеет решений, следовательно, далее будем предполагать, что \(a\ne 0\).
Наша система равносильна совокупности трех систем: \[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} y=1\\ x=\dfrac{1}{a} \end{cases}\ \ \ \ \ (I)\\[5pt] &\begin{cases} y=-2\\ x=-\dfrac{2}{a} \end{cases} \ \ \ (II)\\[5pt] &\begin{cases} y\geqslant -2\\ x^2=\dfrac{6}{a}\\ y=ax \end{cases} \ \ \ (III) \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Первые две системы I и II всегда имеют решение, а система III либо имеет 2 решения (если \(a>0\) и оба значения \(y\) не менее -2), либо имеет 1 решение (если \(a>0\), но ровно один из \(y\) меньше -2), либо не имеет решений (при \(a<0\)).

Следовательно, для того, чтобы изначальная система имела 3 различных решения, необходимо выполнение одного из двух случаев:

1) система III имеет два решения, но ровно одно из них совпадает с решением системы I или II.

Чтобы система III имела 2 решения, нужно: \(a>0\) и \(-\sqrt{6a} \geqslant -2 \Rightarrow 0<a\leqslant \dfrac{2}{3}\).

Тогда этими решениями являются: \(\left(\sqrt{\dfrac{6}{a}}; \sqrt{6a}\right); \left(-\sqrt{\dfrac{6}{a}}; -\sqrt{6a}\right)\). Следовательно: \[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &1=\sqrt{6a}\\ &-2=-\sqrt{6a} \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &a=\dfrac{1}{6}\\ &a=\dfrac{2}{3} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Оба значения параметра удовлетворяют условию \(0<a\leqslant \dfrac{2}{3} \Rightarrow a\in \{\dfrac{1}{6};\dfrac{2}{3}\}\).

2) система III имеет 1 решение и оно не совпадает с решениями систем I и II.

Чтобы система III имела 1 решение, нужно: \(a>0\) и \(-\sqrt{6a}<-2 \Rightarrow a>\dfrac{2}{3}\).

Тогда этим решением является: \(\left(\sqrt{\dfrac{6}{a}}; \sqrt{6a}\right)\). Следовательно:

\(\sqrt{6a}\ne 1 \Rightarrow a\ne \dfrac{1}{6}\). Учитывая условие \(a>\dfrac{2}{3}\), получим, что \(a\in \Big(\dfrac{2}{3}; +\infty\big)\).