25. Механика (Расчетная задача).
Автомобиль выдвигается из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми 80 км, со скоростью 50 км/ч. В это же время из пункта Б выезжает трактор в том же направлении со скоростью 30 км/ч. Через сколько времени автомобиль догонит трактор?
“Досрочная волна 2019 вариант 1”
Автомобиль должен проехать на 80 км больше, чем трактор, значит: \[v_1t=S+v_2t,\] где \(v_1\) – скорость автомобиля, \(v_2\) – скорость трактора.
Откуда время движения: \[t=\dfrac{S}{v_1-v_2}=\dfrac{80\text{ км}}{50\text{ км/ч}-30\text{ км/ч}}=4\text{ ч}\]
Тело замедлялось с постоянным ускорением и на последние 10 м/с перед остановкой скорость тела упала за 200 секунд. Какой путь прошло тело за это время?
“Досрочная волна 2019 вариант 2”
Путь равен: \[S=\dfrac{v}{2}t=\dfrac{10\text{ м/с}}{2}200\text{ с}=1000\text{ м}\]
Камень, брошенный с обрыва практически вертикально вверх со скоростью 14 м/с, упал на землю через 6 секунд после броска. Какова высота обрыва? Сопротивление воздуха не учитывать. Ответ дайте в метрах.
Высота полёта камня описывается уравнением \(h=h_0+v_0t-\dfrac{gt^2}{2}\),
где \(h_0\) — начальная высота броска, \(v_0\) — начальная скорость камня.
Через три секунды камень упал на землю, то есть величина \(h\) стала равна нулю.
Найдём \(h_0\):
\[0=h_0+v_0t-\dfrac{gt^2}{2} \Longrightarrow h_0=\dfrac{gt^2}{2}-v_0t\]
\[h_0=\dfrac{10\cdot6^2}{2}-14\cdot6=96 \text{ м}\]
Камень бросили с высоты 96 м.
Мимо человека, стоящего на платформе по рельсам с постоянной скоростью \(v=5\) метров в секунду проезжает товарный поезд. Через t секунд от человека вдогонку поезду едет пассажирский поезд, движущийся с ускорением 3 м/с\(^2\) и догоняет товарный на расстоянии 150 метров от человека. Чему равно время t? Ответ приведите в секундах.
Обозначим через T время, которое потребуется пассажирскому поезду, чтобы догнать товарный. К этому моменту товарный поезд успеет пройти расстояние \(\displaystyle S=v(t+T) \Longrightarrow t+T=\dfrac{S}{v}=15 \text{ с}\).
В момент встречи пассажирский и товарный поезда проедут одинаковое расстояние \[S=\dfrac{aT^2}{2} \Longrightarrow T=\sqrt{\dfrac{2S}{a}}\]
Получаем \[t+T=\dfrac{S}{v} \Longrightarrow t=\dfrac{S}{v}-T=\dfrac{S}{v}-\sqrt{\dfrac{2S}{a}}\]
Подставим численные значения:
\[t=\dfrac{150}{5}-\sqrt{\dfrac{2\cdot 150}{3}}=20 \text{ с}\]
Камень, брошенный с холма под углом 30\(^o\) к горизонту со скоростью 2 м/с, упал на землю через 6 секунд после броска. Какова высота обрыва, если максимальная высота, на которую поднимался камень относительно земли равна 10 метров? Сопротивление воздуха не учитывать. Ответ дайте в метрах.
Максимальная высота подъема камня описывается уравнением \(h_{max}=h+\dfrac{v_0^2\cdot \sin^2{\alpha}}{2g}\),
где \(h\) — начальная высота броска (искомая высота холма), \(v_0\) — начальная скорость камня.
Найдём \(h\):
\[h=h_{max}-\dfrac{v_0^2\cdot \sin^2{\alpha}}{2g}\]
Подставим численные значения:
\[h=10-\dfrac{2^2\cdot \sin^2{30^o}}{2\cdot10}=9,95 \text{ м}\]
Камень бросили с высоты 9,95 м.
Камень, брошенный с крыши почти вертикально вверх, упал на землю через 7 секунд после броска. Высота дома 14 метров. С какой скоростью бросили камень? Сопротивление воздуха не учитывать. Ответ дайте в метрах в секунду.
Высота полёта камня описывается уравнением \(h=h_0+v_0t-\dfrac{gt^2}{2}\),
где \(h_0\) — начальная высота броска, \(v_0\) — начальная скорость камня.
Через три секунды камень упал на землю, то есть величина \(h\) стала равна нулю.
Найдём \(h_0\):
\[0=h_0+v_0t-\dfrac{gt^2}{2} \Longrightarrow v_0=\dfrac{gt^2-2h_0}{2t}\]
\[v_0=\dfrac{10\cdot 7^2-2\cdot 14}{2\cdot 7}=33\text{ м/с}\]
Камень бросили со скоростью 33 м/c.
Мяч брошен вертикально вверх с какой-то начальной скоростью. За 3 секунды мяч пролетел расстояние 60 метров, считая от момента броска. Найдите начальную скорость мяча при броске. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ приведите в м/с.
Запишем уравнение, описывающее изменение координаты для тела, брошенного вертикально вверх.
\[x(t)=v_0t-\dfrac{gt^2}{2}\ (1)\]
где \(v_0\) — искомая скорость, \(t\) — время полета, а за за перемещение можем взять \(x(t)\)
Выразим из формулы (1) начальную скорость:
\[x(t)=v_0t-\dfrac{gt^2}{2} \Longrightarrow v_0=\dfrac{x(t)}{t}+\dfrac{gt}{2}\]
Подставим численные значения:
\[v_0=\dfrac{60}{3}+\dfrac{10\cdot3}{2}=35 \text{ м/с}\]
