25. Механика (Расчетная задача).

Пусть пассажирский поезд до момента встречи едет \(\tau\) секунд.
В момент встречи пассажирский и товарный поезда проедут одинаковое расстояние \(S=\dfrac{a\tau^2}{2}\) \[a=\dfrac{v-v_0}{t}\] где \(v_0\) и \(v\) — значения начальной и конечной скорости пассажирского поезда соответственно \[S=\dfrac{(v-v_0)\tau}{2}\] Для товарного поезда: \[S=v_1(\tau+t),\] где \(t=11\) с.
Откуда \[(v-v_0)\tau = 2v_1(\tau +t) \Rightarrow (v-2v_1-v_0)\tau =2v_1 t\] Откуда \[\tau = \dfrac{2 v_1 t}{v-2v_1-v_0}=\dfrac{2 \cdot 5\text{ м/с} \cdot 11\text{ с}}{40\text{ м/с}-2\cdot 5\text{ м/с}-20 \text{ м/с}}=11\text{ с}\] Подставим численные значения:

\[S=\dfrac{(40\text{ м/с}-20\text{ м/с}) \cdot 11\text{ с}}{2}=110\text{ м}\]

Запишем формулу ускорения \[a=\dfrac{v-v_0}{t}=\dfrac{3v_0-v_0}{t}=\dfrac{2v_0}{t} \quad (1)\] где \(v\) и \(v_0\) – конечная и начальная скорости тела, \(t\) – время движения.
А расстояние находится по формуле \[S=v_0t+\dfrac{at^2}{2} \quad (2)\] Подставим (1) в (2) \[S=v_0t+\dfrac{2v_0t^2}{2t}=v_0t+v_0t \Rightarrow t=\dfrac{S}{2v_0}=\dfrac{30\text{ м}}{2\cdot 7,5\text{ м/с}}=2\text{ с}\]

Так как скорости самолета и ветра перпендикулярны, то скорость самолета относительно земли можно найти по теореме Пифагора \[v=\sqrt{v_1^2+v_2^2}=15\text{ м/с}\] \(v_1\) и \(v_2\) – скорости дельтапланериста и ветра.

Пусть они находились на минимальном расстоянии после \(t\) часов движения. При этом получаем прямоугольный треугольник со сторонами \(10-80t\) и \(60t\). По теореме Пифагора квадрат минимального расстояния между автомобилями равен \[R^2= (10-80t)^2+(60t)^2 \Rightarrow R^2=10000t^2-1600t+100\] Заметим, что в правой части уравнение параболы, а это значит, что минимальное значение будет в вершине параболы \(t_B\). А вершину найдем по формуле \[t_B=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{1600}{20000}=0,08\] Найдем \(R\) \[R=\sqrt{10000\cdot 0,0064 - 1600\cdot 0,08+100}=6\text{ км}\]

Запишем уравнение, описывающее изменение координаты для тела, брошенного вертикально вверх.

\[x(t)=v_0t-\dfrac{gt^2}{2},\ (1)\]

где \(v_0\) — начальная скорость, \(t\) — искомое время полета, а за перемещение можем взять \(x(t)\)

Подставим в формулу (1) данные значения и решим его относительно \(t\)

Подставим численные значения:

\[5t^2-10t+5=0\]

Получаем, что уравнение имеет единственный корень, значит, \(t=1\text{ с}\)

Высота полёта камня описывается уравнением \(h=h_0+v_0t-\dfrac{gt^2}{2}\),

где \(h_0\) — начальная высота броска, \(v_0\) — начальная скорость камня.

Через три секунды камень упал на землю, то есть величина \(h\) стала равна нулю.

Найдём \(h_0\):

\[0=h_0+v_0t-\dfrac{gt^2}{2} \Longrightarrow h_0=\dfrac{gt^2}{2}-v_0t\]

\[h_0=\dfrac{10\cdot6^2}{2}-14\cdot6=96 \text{ м}\]

Камень бросили с высоты 96 м.

Путь равен: \[S=\dfrac{at^2}{2},\] где \(a\) – ускорение тела, \(t\) – время движения.
Ускорение можно найти по формуле: \[a=\dfrac{v-v_0}{t},\] где \(v\) – конечная скорость, \(v_0\) – начальная скорость.
Откуда \[S=\dfrac{v_0}{2}t=\dfrac{10\text{ м/с}}{2}200\text{ с}=1000\text{ м}\]