Механические колебания
Шарик на длинной лёгкой нерастяжимой нити совершает колебания. Максимальная потенциальная энергия шарика в поле тяжести, если считать её равной нулю в положении равновесия, равна 0,8 Дж. Максимальная скорость шарика в процессе колебаний равна 2 м/с. Какова масса шарика? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Так как сопротивлением воздуха пренебречь, то вся потенциальная энергия перейдет в кинетическую, то есть \[E=\dfrac{mv^2}{2}=0,8\text{ Дж}\] Отсюда масса шарика \[m=\dfrac{1,6\text{ Дж}}{v^2}=\dfrac{1,6\text{ Дж}}{4\text{ м$^2$/с$^2$}}=0,4\text{ кг}\]
Груз массой 2 кг, закреплённый на пружине жёсткостью 200 Н/м, совершает гармонические колебания с амплитудой 10 см. Какова максимальная скорость груза?
Вся потенциальная энергия пружины перейдет в кинетическую, то есть \[\dfrac{kx^2}{2}=\dfrac{mv^2}{2}\] где \(k\) – жесткость пружины, \(x\) – максимальное растяжение пружины, \(m\) – масса груза, \(v\) – максимальная скорость груза. Найдем скорость груза \[v=x\sqrt{\dfrac{k}{m}}=0,1\text{ м}\sqrt{\dfrac{200\text{ Н/м}}{2\text{ кг}}}=1\text{ м/с}\]
Груз массой 2 кг, закреплённый на пружине жесткостью 200 Н/м, совершает гармонические колебания. Максимальное ускорение груза при этом равно 10 м/с\(^2\). Какова максимальная скорость груза?
По второму закону Ньютона \[F=ma \Rightarrow kx=ma \Rightarrow x=\dfrac{ma}{k}=\dfrac{2\text{ кг}\cdot 10\text{ м/с$^2$}}{200\text{ Н/м}}=0,1\text{ м}\] Вся потенциальная энергия пружины перейдет в кинетическую, то есть \[\dfrac{kx^2}{2}=\dfrac{mv^2}{2}\] где \(k\) – жесткость пружины, \(x\) – максимальное растяжение пружины, \(m\) – масса груза, \(v\) – максимальная скорость груза. Найдем скорость груза \[v=x\sqrt{\dfrac{k}{m}}=0,1\text{ м}\sqrt{\dfrac{200\text{ Н/м}}{2\text{ кг}}}=1\text{ м/с}\]
Груз массой 2 кг, закреплённый на пружине жесткостью 200 Н/м, совершает гармонические колебания. Максимальное ускорение груза при этом равно 10 м/с\(^2\). Каков максимальный импульс груза?
По второму закону Ньютона \[F=ma \Rightarrow kx=ma \Rightarrow x=\dfrac{ma}{k}=\dfrac{2\text{ кг}\cdot 10\text{ м/с$^2$}}{200\text{ Н/м}}=0,1\text{ м}\] Вся потенциальная энергия пружины перейдет в кинетическую, то есть \[\dfrac{kx^2}{2}=\dfrac{mv^2}{2}\] где \(k\) – жесткость пружины, \(x\) – максимальное растяжение пружины, \(m\) – масса груза, \(v\) – максимальная скорость груза. Найдем скорость груза \[v=x\sqrt{\dfrac{k}{m}}=0,1\text{ м}\sqrt{\dfrac{200\text{ Н/м}}{2\text{ кг}}}=1\text{ м/с}\] А импульс аходится по формуле: \[p=mv=2\text{ кг}\cdot 1\text{ м/с}=2\text{ кг$\cdot$ м/с}\]
Груз, подвешенный на нити длиной \(l\), совершает гармонические колебания с циклической частотой \(\omega=10\) рад/с. Найдите длину нити.
Циклическая частота находится по формуле \[\omega =\sqrt{\dfrac{g}{l}}\] Отсюда длина нити \[l=\dfrac{g}{\omega^2}=\dfrac{10\text{ м/с$^2$}}{100\text{ рад$^2$/с$^2$}}=0,1\text{ м}\]
При уменьшениии длины нити математического маятника на 5 см, его частота колебаний увеличивается в 1,5 раза. Найдите первоначальную длину (в см) маятника.
Так как частота колебаний увеличивается в 1.5 раза, то и циклическая частота увеличивается тоже в 1,5 раза. \[\omega=\sqrt{\dfrac{g}{l}} \hspace{10 mm} 1,5\omega=\sqrt{\dfrac{g}{l-\Delta l}}\] Поделим второе уравнение на первое и возведем в квадрат \[\dfrac{l}{l- \Delta l}=2,25 \Rightarrow l=1,8\Delta l \Rightarrow l=9\text{ см}\]
