Тепловые явления
В калориметре находился \(m_1=1\) кг льда. Чему равна начальная температура льда, если при добавлении в калориметр \(m=50\) г воды, имеющей температуру \(t_0=20^\circ C\) , в калориметре установилось тепловое равновесие при \(t=-2^\circ C\)? Теплообменом с окружающей средой и теплоемкостью калориметра пренебречь.
Рассмотрим все процессы, происходящие со льдом и водой.
1) Остывание воды до температуры кристаллизации(0\(^\circ C\)). Количество теплоты, выделившееся при этом: \[Q_1=c_1m(t_0-0),\] где \(c_1\) – удельная теплоемкость воды. Так как температура равновесия меньше 0\(^\circ\), то вся вода перейдет в лед.
2) Кристаллизация воды. Количество теплоты: \[Q_2=\lambda m,\] где \(\lambda\) – удельная теплота плавления льда.
3) Охлаждение получившегося льда до -5\(^\circ\). Количество теплоты, которое выделится: \[Q_3=c_2 m (0-t)\] \(c_2\) – удельная теплоемкость льда.
4) Нагревание первоначального льда до \(t\). Количество телоты, необоходимое для нагрева \[Q=c_2m_1(t-t_1)\] \(t_1\) – начальная температура льда. Так как теплообменом с окружающей средой и теплоемкостью калориметра пренебречь, то все количество теплоты, которое выделяется при охлаждении воды идет на нагрев льда, а значит: \[Q=Q_1+Q_2+Q_3 \Rightarrow c_2m_1(t-t_1)=c_1m(t_0-0)+\lambda m+c_2 m (0-t)\] Выразим начальную температуру льда \[t_1=-\dfrac{c_1m(t_0-0)+\lambda m+c_2 m (0-t)-c_2m_1t}{c_2m_1}\] \[t_1=-\dfrac{4200\cdot0,05\cdot(20)+330\cdot 10^3\cdot0,05 + 2100\cdot0,05\cdot(0-(-2)}{2100\cdot1} \approx-10^\circ C\]
В калориметре находился лед при температуре \(t_1=-5^\circ\)С. Чему равна начальная масса льда, если при добавлении в калориметр \(m=50\) г воды, имеющей температуру \(t_0=20^\circ C\) , в калориметре установилось тепловое равновесие при \(t=-2^\circ C\)? Теплообменом с окружающей средой и теплоемкостью калориметра пренебречь.
Растопится ли лед массой 0,5 кг, имеющий температуру 0\(^\circ\)C, за 5 минут, при использовнии нагревательного элемента мощностью \(P=500\) Вт, если потери энергии в окружающую среду 20%?
Переведем минуты в секунды 5 минут=300 с.
Так как потери энергии в окружающую среду 20%, то КПД нагревателя равен 100%-20% =80%. Количество теплоты, необходимое, чтобы растопить лед находится по формуле: \[Q_1=\lambda m,\quad (1)\] где \(\lambda\) – удельная теплота плавления льда, \(m\) – масса льда. В свою очередь количество теплоты, которое получит лед при нагреве равно: \[Q_2=\eta P t, \quad (2)\] где \(\eta\) – КПД нагревателя, \(t\) – время нагрева. Найдем \(Q_1\) и \(Q_2\) \[Q_1=330000\text{ Дж/кг}\cdot 0,5\text{ кг}=175500\text{ Дж}\] \[Q_2=0,8\cdot 500\text{ Вт}\cdot300\text{ с}=120000\text{ Дж}\] Так как \(Q_1>Q_2\), то лед полностью не растает.
Большой кусок льда начали нагревать, какая масса льда растает за 11 минут, при использовнии нагревательного элемента мощностью \(P=1000\) Вт, если потери энергии в окружающую среду 25%, а температура льда 0\(^\circ\)?
Переведем минуты в секунды 11 минут =660 с.
Так как потери энергии в окружающую среду 25%, то КПД нагревателя равен 100%-25% =75%. Количество теплоты, необходимое, чтобы растопить лед находится по формуле: \[Q=\lambda m,\quad (1)\] где \(\lambda\) – удельная теплота плавления льда, \(m\) – масса льда, в свою очередь количество теплоты, которое получит лед при нагреве равно: \[Q=\eta P t, \quad (2)\] где \(\eta\) – КПД нагревателя, \(t\) – время нагрева. Приравняем (1) и (2) \[\lambda m = \eta P t,\] выразим отсюда массу льда и найдем ее \[m=\dfrac{\eta P t}{\lambda }=\dfrac{0,75 \cdot1000\text{ Вт}\cdot660\text{ с} }{330000\text{ Дж/кг}}=1,5\text{ кг}\]
Какую массу дров нужно сжечь на костре, чтобы нагреть до кипения воду массой 2 кг, если 90% теплоты рассеивается в воздух, а начальная температура воды \(t_0=20^\circ\)C. Удельная теплота сгорания дров \(q=8,3\cdot 10^6\)Дж/кг.
Температура кипения воды 100\(^\circ\)С, для того, чтобы нагреть воду необходимо количество теплоты: \[Q=cm\Delta t,\quad (1)\] где \(c\) – удельная теплоемкость воды, \(m\) – масса воды, \(\Delta t\) – изменение температуры. Так как 90% тепла отдается окружающей среде, то только 10% идет на нагрев воды, а значит количество теплоты, которое идет на нагрев воды от сгорания дров равно: \[Q=0,1 q m_1, \quad (2)\] \(m_1\) – масса дров. Приравняем (1) к (2) и выразим массу дров. \[cm\Delta t=0,1 q m_1 \Rightarrow m_1=\dfrac{cm\Delta t}{0,1 q}= \dfrac{4200\text{Дж/кг$\cdot ^\circ$С}\cdot 2 \text{ кг}\cdot 80^\circ C}{0,1\cdot 8,3\cdot 10^6\text{ Дж/кг}}\approx 0,8\text{ кг}\]
В теплоизолированном сосуде содержится вода с температурой \(t_1=60^\circ\), в нее кладут металический шарик, нагретый до температуры \(t_2=15^\circ\). В результате установления теплового равновесия, температура воды стала \(t_3=40^\circ\). Найдите температуру воды \(t_4\), если положить еще 1 такой же шарик (первый остался в сосуде). Ответ дайте в градусах Цельсия округлив до целых.
Запишем уравнение теплового баланса, при добавлении в сосуд первого шарика. \[c_\text{в}m_\text{в}\left(t_1-t_3\right)=c_\text{ м}m_\text{ м}\left(t_2-t_3\right)\] где \(c_\text{в}\) – удельная теплоемкость воды, \(m_\text{в}\) – масса воды в сосуде, \(c_\text{ м}\) – удельная теплоемкость металла, \(m_\text{ м}\) –масса шарика.
Отсюда \[c_\text{ м}m_\text{ м}=\dfrac{c_\text{в}m_\text{в}\left(t_1-t_3\right)}{\left(t_2-t_3\right)} \quad (1)\] Запишем уравнение теплового баланса, при добавлении второго шарика \[c_\text{в}m_\text{в}\left(t_3-t_4\right)+c_\text{ м}m_\text{ м}\left(t_3-t_4\right)=c_\text{ м}m_\text{ м}\left(t_2-t_4\right) \quad (2)\] Подставим (1) в (2) и выразим конечную температуру \[t_4=\dfrac{t_1t_2-2t_2t_3+t_1t_3}{2t_1-t_2-t_3}=\dfrac{60^\circ\cdot15^\circ - 2\cdot 15^\circ \cdot 40^\circ+ 60^\circ\cdot 40^\circ}{2\cdot 60^\circ - 15^\circ-50^\circ}\approx 39^\circ\]
