30. Молекулярная физика (расчетная задача) (страница 2)

Запишем уравнение Клапейрона–Менделеева: \[pV=\nu R T,\] где \(p\) — давление газа, \(V\) — объем газа, \(\nu\) — количество вещества газа, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) — температура газа в Кельвинах.
Количество вещества можно найти по формуле: \[\nu=\dfrac{m}{\mu}, \; \; \; \; (1)\] где \(m\) — масса газа, \(\mu\) — молярная масса газа.
Выразим давление из уравнения Клапейрона–Менделеева: \[p=\dfrac{\nu R T}{V},\; \; \; \; (2)\] По закону Дальтона, давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов: \[p=p_1+p_2, \; \; \; \; (3)\] где \(p_1\) и \(p_2\) — давления углекислого газа и азота соответственно, \(p\) — общее давление смеси.
Подставим (1), (2) в (3) с учетом того, что объемы газов и их температуры равны (так как находятся в одном сосуде): \[p=\dfrac{m_1 R T}{\mu_1 V}+\dfrac{m_2 R T}{\mu_2 V}\] Так как \(\dfrac{m}{V}\) это плотность, то суммарное давление смеси: \[\displaystyle p=\dfrac{\rho_1 R T}{\mu_1 }+\dfrac{\rho_2 R T}{\mu_2 }=RT\left(\dfrac{\rho_1}{\mu_1}+\dfrac{\rho_2}{\mu_2} \right)\] Найдем общее давление смеси: \[p=8,31 \text{ Дж/(моль$\cdot$ К)}\cdot 300 \text{ К}\cdot \left(\dfrac{56\cdot 10^{-3} \text { кг/м$^3$} }{28\cdot 10^{-3}\text{ кг/моль}}+\dfrac{44\cdot 10^{-3} \text { кг/м$^3$} }{44\cdot 10^{-3}\text{ кг/моль}}\right)=7479\text{ Па}\]

Запишем уравнение Клапейрона – Менделеева: \[pV=\nu R T,\] где \(p\) — давление газа, \(V\) — объем газа, \(\nu\) — количество вещества газа, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) — температура газа в Кельвинах.
Количество вещества можно найти по формуле: \[\nu=\dfrac{m}{Mr}, \; \; \; \; (1)\] где \(m\) — масса газа, \(Mr\) — молярная масса газа.
Выразим давление из уравнения Клапейрона – Менделеева с учетом (1): \[p=\dfrac{m R T}{Mr V}, \quad (2)\] Так как запас прочности во втором случае в 5 раз больше, то и давление, которое может выдержать сосуд в 5 раз больше, а значит: \[\dfrac{p_2}{p_1}=5 \; \; \; \Rightarrow \; \; \; p_2=5p_1\] Перепишем данное уравнение с учетом (2): \[\dfrac{m_2 R T_2}{Mr_2 V}=5\cdot\dfrac{m_1 R T_1}{Mr_1 V}\] Выразим искамую массу \(m_2\) и найдем ее: \[m_2=\dfrac{5 m_1 T_1 Mr_2 }{Mr_1 T_2}\] \[m_2 =\dfrac{5 \cdot 1 \text{ кг}\cdot 600 \text{ К} \cdot 2\cdot 10^{-3}\text{ кг/моль}}{ 28\cdot 10^{-3} \text{ кг/моль} \cdot 300 \text{ К}} \approx 0,7 \text{ кг}\]

Давление воздуха будет уравновешивать давление окружающей среды \(p_o\) и давление столбика ртути \(p_h\), то есть: \[p=p_o+p_h=\rho g H + \rho g h\] \[p = \rho g (H+h), \; \; \; \; \; (1)\] где \(\rho\) — плотность ртути, \(g\) — ускорение свободного падения, \(H\) — столб ртути (750 мм = 75 см).
Так как объем воздуха не изменился, то нагревание изохорное, а значит оно подчиняется закону Шарля: \[\dfrac{p_o}{T_o}=\dfrac{p}{T} \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \dfrac{T}{T_o}=\dfrac{p}{p_o} \; \; \; \; (2)\] Так как происходит нагревание на \(\Delta T\), то: \[T=T_o+\Delta T \; \; \; \; \; (3)\] Подставив (1) и (3) в (2), получим: \[\dfrac{T_o +\Delta T}{T_o}=\dfrac{\rho g (H+h)}{\rho g H} \; \; \; \Rightarrow \; \; \; 1+\dfrac{\Delta T}{T_o}=\dfrac{H+h}{H}=1+\dfrac{h}{H}\] \[T_o=\dfrac{H\cdot \Delta T}{h}\] \[T_o = \dfrac{75\text{ см}\cdot 50\text{ К}}{7,5 \text{ см}}=500\text{ К}\]

Переведём градусы Цельсия в градусы Кельвина 7\(^\circ\)С = 280 К
Процессы:
1-2 — изотермическое расширение
2-3 — изохорное нагревание
3-4 — изобарическое расширение
Неизвестные параметры будем находить используя закон Менделеева–Клапейрона \[pV=\nu RT,\] а также законы изопроцессов (так как количество вещества остается постоянным, то эти законы применимы):
изобарный — \(V\sim T\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1)\)
изохорный — \(p\sim T\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;(2) \)
изотермический — \(p\sim \dfrac{1}{V} \; \; \; \; (3)\)
где \(\nu\) — количество вещества газа, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) — абсолютная температура газа.
Состояние 1:
Выразим из уравнения Менделеева – Клапейрона объем газа (для состояния 1): \[V_1=\dfrac{\nu R T_1}{p_1}\] \[V_1=\dfrac{2\text{ моль}\cdot8,31\text{ Дж/(моль$\cdot$К)}\cdot280\text{ К}}{10^5\text{ Па}}\approx0,0465 \text{ м$^3$}\] Состояние 2:
Так как процесс 1-2 — изотермический, то \(T_1\) = \(T_2\) = 280 К
По условию \(V_2=2V_1 \; \; \; \Rightarrow \; \; \; V_2 =\) 0,093 м\(^3\)
По уравнению (3) при увеличении объема в два раза давление уменьшится в 2 раза, следовательно, давление в состоянии 2 равно: \(p_2=\dfrac{p_1}{2}=0,5\cdot 10^5\text{ Па}\)
Состояние 3:
Так как процесс 2-3 — изохорный, то \(V_3=V_2=\) 0,093 м\(^3\)
По условию \(p_3=p_1=\) 10\(^5\) Па
Из уравнения Менделеева – Клапейрона выразим температуру газа (для состояния 3): \[T_3=\dfrac{p_3V_3}{\nu R}\] \[T_3=\dfrac{10^5\text{ Па}\cdot0,093\text{ м$^3$}}{2\text{ моль}\cdot8,31\text{ Дж/(моль$\cdot$К)}}\approx560\text{ К}\] Состояние 4:
Так как процесс изобарный, то \(p_4=p_3=p_1\) = 10\(^5\) Па
По условию \(V_4=3V_1 \; \; \; \Rightarrow \; \; \; V_4=\) 3\(\cdot\) 0,0465 м\(^3\) = 0,1395 м\(^3\)
Температура газа в состоянии 4 равна: \[T_4=\dfrac{p_4V_4}{\nu R}\] \[T_4=\dfrac{10^5\text{ Па}\cdot0,1395\text{ м$^3$}}{2\text{ моль}\cdot8,31\text{ Дж/(моль$\cdot$К)}}=840\text{ К}\]
состояние 1: \(p_1\) = 10\(^5\) Па, \(T_1\) = 280 К, \(V_1\) = 0,0465 м\(^3\)
состояние 2: \(p_2\) = 0,5\(\cdot\)10\(^5\) Па, \(T_2\) = 280 К, \(V_2\) = 0,093 м\(^3\)
состояние 3: \(p_3\) = 10\(^5\) Па, \(T_3\) = 560 К, \(V_3\) = 0,093 м\(^3\)
состояние 4: \(p_4\) = 10\(^5\) Па, \(T_4\) = 840 К, \(V_4\) = 0,1395 м\(^3\)